Номер 803, страница 159, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

803 Найди НОД и НОК чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) чисел 180 и 396 методом разложения на простые множители, выполним следующие действия:

1. Разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 180:

$180 = 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

Таким образом, каноническое разложение числа 180: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Разложение числа 396:

$396 = 2 \cdot 198 = 2 \cdot 2 \cdot 99 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 33 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$

Таким образом, каноническое разложение числа 396: $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^1$.

Нахождение НОД

Чтобы найти НОД, необходимо найти произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.

В разложениях $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$ общими множителями являются $2$ и $3$. Наименьшая степень для множителя $2$ равна $2$, а для множителя $3$ также равна $2$.

НОД(180, 396) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Ответ: 36.

Нахождение НОК

Чтобы найти НОК, необходимо найти произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.

Все множители из обоих разложений: $2, 3, 5, 11$. Их наибольшие степени: $2^2, 3^2, 5^1, 11^1$.

НОК(180, 396) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 11 = 36 \cdot 55 = 1980$.

Ответ: 1980.