Номер 1113, страница 230, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1113 Два поезда вышли одновременно в одном направлении с двух железнодорожных станций, расстояние между которыми 84 км. Через 1,5 ч расстояние между поездами сократилось до 58,8 км. Найди скорости поездов, если известно, что скорость одного из них составляет 79% скорости другого.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости поездов. Поскольку поезда движутся в одном направлении и расстояние между ними сокращается, это означает, что поезд, идущий сзади, имеет большую скорость и догоняет поезд, идущий впереди. Обозначим скорость более быстрого поезда как $v_2$, а более медленного как $v_1$. Таким образом, $v_2 > v_1$.

Согласно условию, скорость одного поезда составляет 79% от скорости другого. Так как $v_1 < v_2$, то скорость медленного поезда составляет 79% от скорости быстрого поезда, что можно записать в виде формулы: $v_1 = 0.79 \cdot v_2$.

Скорость, с которой поезда сближаются (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1$.

Начальное расстояние между поездами составляло $S_1 = 84$ км. Через время $t = 1.5$ часа расстояние уменьшилось до $S_2 = 58.8$ км. За это время поезда сблизились на расстояние $\Delta S$, равное разности начального и конечного расстояний:
$\Delta S = S_1 - S_2 = 84 - 58.8 = 25.2$ км.

Расстояние, на которое сократилась дистанция между поездами, можно найти по формуле $\Delta S = v_{сбл} \cdot t$. Подставим известные значения:
$25.2 = (v_2 - v_1) \cdot 1.5$

Из этого уравнения можно найти скорость сближения:
$v_2 - v_1 = \frac{25.2}{1.5} = \frac{252}{15} = 16.8$ км/ч.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $v_2 - v_1 = 16.8$
2) $v_1 = 0.79 \cdot v_2$

Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое:
$v_2 - (0.79 \cdot v_2) = 16.8$
$v_2 \cdot (1 - 0.79) = 16.8$
$0.21 \cdot v_2 = 16.8$

Теперь найдем скорость второго (быстрого) поезда:
$v_2 = \frac{16.8}{0.21} = \frac{1680}{21} = 80$ км/ч.

Зная скорость второго поезда, найдем скорость первого (медленного) поезда:
$v_1 = 0.79 \cdot v_2 = 0.79 \cdot 80 = 63.2$ км/ч.

Ответ: скорости поездов равны 63,2 км/ч и 80 км/ч.