Номер 786, страница 171, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

786 Найди закономерность и запиши следующее число в последовательности.

В каких последовательностях числа расположены в порядке возрастания, а в каких — в порядке убывания?

1) $0,1$; $0,02$; $0,003$; $0,0004$; $0,00005$; ...

2) $0,6$; $0,56$; $0,456$; $0,3456$; $0,23456$; ...

3) $0,1$; $0,11$; $0,111$; $0,1111$; $0,11111$; ...

4) $0,3$; $0,03$; $0,303$; $0,0303$; $0,30303$; ...

1) В данной последовательности n-й член можно представить в виде формулы $a_n = \frac{n}{10^n}$.

Например, первый член $a_1 = \frac{1}{10^1} = 0,1$; второй член $a_2 = \frac{2}{10^2} = \frac{2}{100} = 0,02$; пятый член $a_5 = \frac{5}{10^5} = \frac{5}{100000} = 0,00005$.

Следовательно, шестой член последовательности будет $a_6 = \frac{6}{10^6} = \frac{6}{1000000} = 0,000006$.

Чтобы определить порядок, сравним соседние члены: $0,1 > 0,02 > 0,003$ и так далее. Каждое следующее число меньше предыдущего, поэтому последовательность является убывающей.
Ответ: следующее число 0,000006; последовательность расположена в порядке убывания.

2) Закономерность этой последовательности состоит в том, что целая часть равна нулю, а дробная часть формируется следующим образом: первый член — 6; второй — 56; третий — 456; четвертый — 3456, и так далее. То есть, n-й член начинается с цифры $7-n$, за которой следуют цифры в порядке возрастания до 6.

Пятый член: 0,23456 (начинается с $7-5=2$).

Шестой член должен начинаться с цифры $7-6=1$, за которой идут 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, следующее число — 0,123456.

Сравнивая числа ($0,6 > 0,56 > 0,456 > ...$), мы видим, что каждое следующее число меньше предыдущего. Следовательно, последовательность расположена в порядке убывания.
Ответ: следующее число 0,123456; последовательность расположена в порядке убывания.

3) В этой последовательности каждый следующий член получается добавлением еще одной цифры «1» в конец дробной части.

Пятый член равен 0,11111.

Значит, шестой член последовательности будет иметь шесть единиц после запятой: 0,111111.

Сравним числа: $0,1 < 0,11 < 0,111 < 0,1111 < 0,11111$. Каждое следующее число больше предыдущего, поэтому последовательность является возрастающей.
Ответ: следующее число 0,111111; последовательность расположена в порядке возрастания.

4) Данная последовательность является чередованием двух закономерностей.

Члены на нечетных местах (1-й, 3-й, 5-й): 0,3; 0,303; 0,30303; ... (каждый раз добавляется группа цифр «03»).

Члены на четных местах (2-й, 4-й): 0,03; 0,0303; ... (каждый раз добавляется группа цифр «03»).

Последний известный член, 0,30303, стоит на пятом (нечетном) месте. Значит, следующий член будет на шестом (четном) месте. Продолжая ряд для четных членов, после 0,0303 получим 0,030303.

Сравним последовательность чисел: $0,3 > 0,03$; $0,03 < 0,303$; $0,303 > 0,0303$. Так как числа то уменьшаются, то увеличиваются, эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Ответ: следующее число 0,030303; последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.