Номер 789, страница 171, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

789 Дробь $\frac{p}{q}$ записали в виде конечной десятичной дроби в первом случае с точностью до 0,01, а во втором – до 0,001. Может ли быть первое число:

а) меньше второго;

б) больше второго;

в) равно второму? Докажи полученные утверждения.

Пусть исходная дробь $\frac{p}{q}$ равна некоторому числу $x$.
Первое число, назовем его $N_1$, — это результат округления $x$ с точностью до $0.01$ (до сотых).
Второе число, назовем его $N_2$, — это результат округления $x$ с точностью до $0.001$ (до тысячных).

а) меньше второго
Да, первое число может быть меньше второго. Это происходит в случаях, когда при округлении до сотых разряд сотых не меняется (округление вниз), а при округлении до тысячных происходит округление вверх, затрагивающее разряд тысячных.
Доказательство (пример):
Рассмотрим дробь $\frac{p}{q} = \frac{1249}{10000} = 0.1249$.
1. Округляем до сотых ($0.01$): смотрим на третью цифру после запятой (тысячные) — это $4$. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $N_1 = 0.12$.
2. Округляем до тысячных ($0.001$): смотрим на четвертую цифру после запятой (десятитысячные) — это $9$. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем $N_2 = 0.125$.
Сравниваем полученные числа: $0.12 < 0.125$. Таким образом, $N_1 < N_2$.
Ответ: да.

б) больше второго
Да, первое число может быть больше второго. Это происходит, когда при округлении до сотых происходит округление вверх, а при округлении до тысячных — округление вниз.
Доказательство (пример):
Рассмотрим дробь $\frac{p}{q} = \frac{647}{5000} = 0.1294$.
1. Округляем до сотых ($0.01$): смотрим на цифру в разряде тысячных — это $9$. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем $N_1 = 0.13$.
2. Округляем до тысячных ($0.001$): смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это $4$. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Получаем $N_2 = 0.129$.
Сравниваем полученные числа: $0.13 > 0.129$. Таким образом, $N_1 > N_2$.
Ответ: да.

в) равно второму
Да, первое число может быть равно второму. Это происходит, когда правила округления для обоих случаев приводят к численно равным результатам.
Доказательство (пример):
Рассмотрим дробь $\frac{p}{q} = \frac{3}{25} = 0.12$.
1. Округляем до сотых ($0.01$): число $0.12$ уже представлено с точностью до сотых. Его можно записать как $0.120$. Третья цифра после запятой — $0$. Округление происходит в меньшую сторону. Получаем $N_1 = 0.12$.
2. Округляем до тысячных ($0.001$): число можно записать как $0.1200$. Четвертая цифра после запятой — $0$. Округление происходит в меньшую сторону. Получаем $N_2 = 0.120$.
Сравниваем полученные числа: $0.12 = 0.120$. Таким образом, $N_1 = N_2$.
Ответ: да.