Номер 790, страница 171, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

790 Что больше:

а) 0,3 или $0,(3)$;

б) $\frac{1}{3}$ или 0,33;

в) $\frac{1}{3}$ или 0,34?

а) Чтобы сравнить числа $0,3$ и $0,(3)$, нужно понять, что они означают. Число $0,(3)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $0,333...$ (цифра 3 повторяется бесконечно). Число $0,3$ — это конечная десятичная дробь. Для сравнения удобно записать оба числа с одинаковым количеством знаков после запятой, например, до тысячных.
$0,3 = 0,300$
$0,(3) = 0,333...$
Теперь сравним эти числа поразрядно, начиная слева.
Целые части у них равны: $0 = 0$.
Цифры в разряде десятых также равны: $3 = 3$.
А вот цифры в разряде сотых различаются: у числа $0,3$ это $0$, а у числа $0,(3)$ это $3$.
Поскольку $3 > 0$, то и число $0,(3)$ больше, чем $0,3$.
Ответ: $0,(3)$.

б) Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ и десятичную дробь $0,33$, приведем их к одному виду. Проще всего перевести обыкновенную дробь в десятичную. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель.
$1 \div 3 = 0,3333... = 0,(3)$
Теперь нам нужно сравнить два числа: $0,(3)$ и $0,33$.
$0,(3) = 0,333...$
$0,33 = 0,330...$
Сравниваем поразрядно. Первые две цифры после запятой (в разрядах десятых и сотых) у них совпадают. Однако в разряде тысячных у числа $0,(3)$ стоит цифра $3$, а у числа $0,33$ (которое можно записать как $0,330$) стоит $0$.
Так как $3 > 0$, то $0,(3) > 0,33$. Следовательно, $\frac{1}{3}$ больше, чем $0,33$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Чтобы сравнить дробь $\frac{1}{3}$ и десятичную дробь $0,34$, снова представим $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби.
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$.
Теперь сравним $0,(3)$ и $0,34$.
$0,(3) = 0,333...$
$0,34 = 0,340...$
Сравниваем поразрядно. Целые части равны ($0=0$). Цифры в разряде десятых тоже равны ($3=3$). Но в разряде сотых у числа $0,(3)$ стоит цифра $3$, а у числа $0,34$ — цифра $4$.
Поскольку $3 < 4$, то $0,(3) < 0,34$. Значит, $\frac{1}{3} < 0,34$.
Ответ: $0,34$.