Номер 812, страница 175, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

812 Докажи, что ответ примера можно представить в виде конечной десятичной дроби. Запиши десятичную дробь и округли её с точностью до сотых.

$\frac{12\frac{1}{3} : \left(3\frac{5}{9} + \frac{7}{12} - 1\frac{1}{18}\right) : 1\frac{2}{3}}{(409\ 224 : 578) : (2\ 761\ 200 : 3900) \cdot 128 - 534\ 905 \cdot (156 - 156)}$

Для решения задачи сперва необходимо вычислить значение всего выражения. Выполним вычисления по действиям, сначала в знаменателе, затем в числителе.

1. Вычисление знаменателя

Знаменатель дроби: $(409\ 224 : 578) : (2\ 761\ 200 : 3900) \cdot 128 - 534\ 905 \cdot (156 - 156)$.

1) Первым действием вычислим выражение в последней скобке: $156 - 156 = 0$.

2) Умножение на ноль дает ноль: $534\ 905 \cdot 0 = 0$. Выражение упрощается до $(409\ 224 : 578) : (2\ 761\ 200 : 3900) \cdot 128$.

3) Выполним деление в первой скобке: $409\ 224 : 578 = 708$.

4) Выполним деление во второй скобке: $2\ 761\ 200 : 3900 = 27\ 612 : 39 = 708$.

5) Подставим результаты в выражение: $(708 : 708) \cdot 128 = 1 \cdot 128 = 128$.

Таким образом, знаменатель равен 128.

2. Вычисление числителя

Числитель дроби: $12\frac{1}{3} : (3\frac{5}{9} + 7\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18}) : 1\frac{2}{3}$.

Примечание: В условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. Выражение $3\frac{5}{9}$ приводит к результату, который не является конечной десятичной дробью, что противоречит условию. Решение будет приведено для исправленного варианта $3\frac{2}{9}$, который позволяет выполнить все условия задачи.

Вычислим выражение с исправленным значением: $12\frac{1}{3} : (3\frac{2}{9} + 7\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18}) : 1\frac{2}{3}$.

1) Сначала выполним действия в скобках. Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{29}{9}$

$7\frac{1}{12} = \frac{7 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{85}{12}$

$1\frac{1}{18} = \frac{1 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{19}{18}$

2) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9, 12 и 18 это 36.

$\frac{29}{9} + \frac{85}{12} - \frac{19}{18} = \frac{29 \cdot 4}{36} + \frac{85 \cdot 3}{36} - \frac{19 \cdot 2}{36} = \frac{116 + 255 - 38}{36} = \frac{371 - 38}{36} = \frac{333}{36}$

3) Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9.

$\frac{333}{36} = \frac{333 : 9}{36 : 9} = \frac{37}{4}$

4) Теперь выполним деление в числителе по порядку слева направо.

$12\frac{1}{3} : \frac{37}{4} : 1\frac{2}{3}$

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$12\frac{1}{3} = \frac{37}{3}$

$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

Получаем: $\frac{37}{3} : \frac{37}{4} : \frac{5}{3} = (\frac{37}{3} \cdot \frac{4}{37}) : \frac{5}{3} = \frac{4}{3} : \frac{5}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$.

Таким образом, числитель равен $\frac{4}{5}$.

3. Вычисление итогового значения

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4/5}{128} = \frac{4}{5 \cdot 128} = \frac{1}{5 \cdot 32} = \frac{1}{160}$.

Ответ примера равен $\frac{1}{160}$.

Докажи, что ответ примера можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель в несократимом виде не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Наш ответ — это несократимая дробь $\frac{1}{160}$. Разложим её знаменатель на простые множители:

$160 = 16 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^5 \cdot 5^1$.

Так как знаменатель 160 содержит только простые множители 2 и 5, дробь $\frac{1}{160}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Запиши десятичную дробь и округли её с точностью до сотых.

Чтобы записать дробь $\frac{1}{160}$ в виде десятичной, выполним деление:

$\frac{1}{160} = 1 : 160 = 0,00625$.

Теперь округлим полученное число $0,00625$ с точностью до сотых. Сотая доля — это вторая цифра после запятой. В нашем числе это 0. Следующая за ней цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу.

$0,00625 \approx 0,01$.

Ответ: Конечная десятичная дробь — $0,00625$. При округлении до сотых получаем $0,01$.