Номер 815, страница 176, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

815 Реши уравнение. Ответ представь в виде конечной десятичной дроби или докажи, что такое представление невозможно:

1) $14x - 2x + 9x - x - 5x = 40;$

2) $(2\frac{2}{5}x + 6\frac{1}{2}) : 1\frac{4}{7} - 2\frac{4}{9} = 4\frac{5}{9}.$

1)

Дано уравнение $14x - 2x + 9x - x - 5x = 40$.

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые. Для этого необходимо сложить и вычесть коэффициенты при переменной $x$.

$(14 - 2 + 9 - 1 - 5)x = 40$

Выполним арифметические действия в скобках:

$14 - 2 = 12$

$12 + 9 = 21$

$21 - 1 = 20$

$20 - 5 = 15$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$15x = 40$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 15:

$x = \frac{40}{15}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 5:

$x = \frac{40:5}{15:5} = \frac{8}{3}$

Далее необходимо проверить, можно ли представить дробь $\frac{8}{3}$ в виде конечной десятичной дроби. Несократимая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если её знаменатель в разложении на простые множители не содержит чисел, кроме 2 и 5. В нашем случае знаменатель равен 3. Так как 3 является простым числом, отличным от 2 и 5, дробь $\frac{8}{3}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. При делении 8 на 3 получается бесконечная периодическая дробь:

$\frac{8}{3} = 2,666... = 2,(6)$

Ответ: Представление в виде конечной десятичной дроби невозможно.

2)

Дано уравнение $(2\frac{2}{5}x + 6\frac{1}{2}) : 1\frac{4}{7} - 2\frac{4}{9} = 4\frac{5}{9}$.

В первую очередь преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

$6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}$

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$2\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$

$4\frac{5}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{41}{9}$

Подставим полученные дроби в исходное уравнение:

$(\frac{12}{5}x + \frac{13}{2}) : \frac{11}{7} - \frac{22}{9} = \frac{41}{9}$

Перенесем вычитаемое $\frac{22}{9}$ из левой части в правую, изменив его знак на плюс:

$(\frac{12}{5}x + \frac{13}{2}) : \frac{11}{7} = \frac{41}{9} + \frac{22}{9}$

Вычислим сумму в правой части уравнения:

$\frac{41}{9} + \frac{22}{9} = \frac{41+22}{9} = \frac{63}{9} = 7$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{12}{5}x + \frac{13}{2}) : \frac{11}{7} = 7$

Выражение в скобках $(\frac{12}{5}x + \frac{13}{2})$ является делимым. Чтобы его найти, нужно частное (7) умножить на делитель $(\frac{11}{7})$:

$\frac{12}{5}x + \frac{13}{2} = 7 \cdot \frac{11}{7}$

$\frac{12}{5}x + \frac{13}{2} = 11$

Перенесем слагаемое $\frac{13}{2}$ в правую часть со знаком минус:

$\frac{12}{5}x = 11 - \frac{13}{2}$

Выполним вычитание в правой части, представив 11 как дробь $\frac{22}{2}$:

$\frac{12}{5}x = \frac{22}{2} - \frac{13}{2} = \frac{22-13}{2} = \frac{9}{2}$

Осталось найти $x$. Для этого разделим произведение $(\frac{9}{2})$ на известный множитель $(\frac{12}{5})$, что эквивалентно умножению на обратную дробь $\frac{5}{12}$:

$x = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{12}$

$x = \frac{9 \cdot 5}{2 \cdot 12} = \frac{45}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{45:3}{24:3} = \frac{15}{8}$

Знаменатель дроби равен 8. Разложим его на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Так как в разложении нет других простых множителей, кроме 2, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Выполним деление:

$x = 15 : 8 = 1,875$

Ответ: $1,875$.