Номер 822, страница 177, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 822 Среди семи внешне одинаковых монет есть одна фальшивая – более лёгкая по весу. Как при помощи всего двух взвешиваний на чашечных весах (без гирь) найти фальшивую?

Для решения этой задачи необходимо использовать стратегию, которая позволяет на каждом шаге максимально сужать круг "подозреваемых" монет, независимо от исхода взвешивания. Пронумеруем монеты от 1 до 7.

Первое взвешивание:

Разделим монеты на три группы: три монеты (1, 2, 3), три монеты (4, 5, 6) и одна монета (7), которую пока отложим. Положим на левую чашу весов группу (1, 2, 3), а на правую — группу (4, 5, 6). Возможны три исхода:

1. Весы находятся в равновесии. Это означает, что все шесть монет на весах (1, 2, 3, 4, 5, 6) — настоящие. Следовательно, фальшивая (более легкая) монета — это та, что осталась в стороне, то есть монета 7. В этом случае задача решена за одно взвешивание.

2. Левая чаша (1, 2, 3) легче. Это означает, что фальшивая монета находится среди монет 1, 2 или 3. Все остальные монеты (4, 5, 6, 7) — настоящие.

3. Правая чаша (4, 5, 6) легче. Аналогично второму случаю, это означает, что фальшивая монета находится среди монет 4, 5 или 6.

Таким образом, после первого взвешивания мы либо сразу находим фальшивую монету, либо определяем группу из трех монет, в которой она находится.

Второе взвешивание:

Это взвешивание необходимо, если в первом взвешивании весы не были в равновесии. Мы имеем группу из трех "подозреваемых" монет (допустим, это монеты 1, 2, 3, как в случае 2 выше). Чтобы найти среди них фальшивую, поступим следующим образом:

Возьмем любые две монеты из этой группы, например, монету 1 и монету 2, и положим их на разные чаши весов. Монету 3 оставим в стороне. Снова возможны три исхода:

1. Весы находятся в равновесии. Это означает, что монеты 1 и 2 — настоящие. Следовательно, фальшивая (более легкая) монета — это та, что осталась в стороне, то есть монета 3.

2. Левая чаша (с монетой 1) легче. Это означает, что монета 1 и есть фальшивая.

3. Правая чаша (с монетой 2) легче. Это означает, что монета 2 и есть фальшивая.

Эта двухэтапная процедура гарантированно определяет фальшивую монету за два взвешивания.

Ответ: Сначала нужно взвесить две группы по три монеты. Если весы в равновесии, фальшивая монета — оставшаяся седьмая. Если одна группа легче, то фальшивая монета в ней. Затем из этой группы трех монет нужно взвесить две любые монеты. Если они равны, фальшивая — третья, оставшаяся. Если одна легче, то она и есть фальшивая.