Номер 827, страница 177, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

827 Можно ли представить дробь $\frac{18}{3600}$ в виде конечной десятичной дроби?

Докажи.

Да, дробь $\frac{18}{3600}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби. Чтобы доказать это, воспользуемся правилом: обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной, если её знаменатель в несократимом виде не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5.

1. Сначала сократим данную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Заметим, что и 18, и 3600 делятся на 18.

$\frac{18}{3600} = \frac{18 \div 18}{3600 \div 18} = \frac{1}{200}$

Мы получили несократимую дробь $\frac{1}{200}$.

2. Теперь разложим знаменатель полученной дроби (число 200) на простые множители.

$200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 5^2$

Как видно из разложения, знаменатель 200 содержит только простые множители 2 и 5.

3. Согласно правилу, так как знаменатель несократимой дроби содержит только множители 2 и 5, эту дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Для наглядного доказательства выполним преобразование дроби в десятичную. Для этого приведём знаменатель к числу, являющемуся степенью 10 (10, 100, 1000 и т.д.). У нас есть $2^3 \cdot 5^2$. Чтобы степени у множителей 2 и 5 были одинаковыми, нужно домножить дробь на 5. Домножим и числитель, и знаменатель на 5, чтобы значение дроби не изменилось:

$\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{5}{1000} = 0.005$

Мы получили конечную десятичную дробь $0.005$, что и требовалось доказать.

Ответ: да, можно, так как после сокращения дроби $\frac{18}{3600}$ до $\frac{1}{200}$ ее знаменатель $200 = 2^3 \cdot 5^2$ содержит в разложении на простые множители только 2 и 5. При преобразовании получается конечная десятичная дробь $0.005$.