Номер 823, страница 177, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

823 В книгах новгородских писцов XV века упоминаются такие меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало известно, что бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса: $Б + 20В = 3Б$, а 19 бочек, насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочками и восемью вёдрами: $19Б + Н + 15.5В = 20Б + 8В$. Могут ли историки на основании этих данных определить, сколько насадок содержится в бочке?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие объемы старинных мер:

• $б$ — объем бочки
• $н$ — объем насадки
• $в$ — объем ведра

Основываясь на тексте задачи, составим два уравнения.

Первое условие: "бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса". Запишем это в виде математического уравнения:

$1б + 20в = 3б$

Упростим это уравнение, перенеся $1б$ в правую часть:

$20в = 3б - 1б$

$20в = 2б$

Разделив обе части на 2, получим соотношение между бочкой и ведром:

$10в = б$

Это означает, что одна бочка по объему равна десяти вёдрам.

Второе условие: "19 бочек, насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочками и восемью вёдрами". Запишем второе уравнение:

$19б + 1н + 15,5в = 20б + 8в$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными, перенеся их на одну сторону:

$1н + 15,5в - 8в = 20б - 19б$

$1н + 7,5в = 1б$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными:

$ \begin{cases}б = 10в \\б = н + 7,5в \end{cases} $

Вопрос задачи — определить, сколько насадок содержится в бочке. Это значит, что нам нужно найти отношение $б$ к $н$. Для этого необходимо исключить переменную $в$ из уравнений.

Из первого уравнения ($б = 10в$) мы можем выразить объем ведра через объем бочки:

$в = \frac{б}{10}$

Теперь подставим это выражение для $в$ во второе уравнение ($б = н + 7,5в$):

$б = н + 7,5 \cdot (\frac{б}{10})$

$б = н + 0,75б$

Мы получили уравнение, связывающее только объемы бочки и насадки. Перенесем $0,75б$ в левую часть:

$б - 0,75б = н$

$0,25б = н$

Чтобы найти, сколько насадок содержится в одной бочке, выразим $б$ через $н$:

$б = \frac{н}{0,25}$

$б = 4н$

Таким образом, одна бочка по объему равна четырем насадкам. Следовательно, на основании предоставленных данных историки могут определить искомое соотношение.

Ответ: Да, могут. В одной бочке содержится 4 насадки.