Номер 854, страница 183, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

854 Запиши с помощью букв:

Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$

Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Правило вычитания числа из суммы: $(a + b) - c = a + (b - c)$

Правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$

Проверь справедливость записанных равенств для некоторых десятичных дробей, взяв значения букв по собственному выбору. Можно ли на основании проведённых тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей? Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае?

Переместительное свойство сложения
Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a + b = b + a$.
Проверка:
Возьмем $a = 3,7$ и $b = 8,5$.
Левая часть: $a + b = 3,7 + 8,5 = 12,2$.
Правая часть: $b + a = 8,5 + 3,7 = 12,2$.
$12,2 = 12,2$. Равенство справедливо.
Ответ: $a + b = b + a$.

Сочетательное свойство сложения
Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Проверка:
Возьмем $a = 1,2$, $b = 2,3$ и $c = 3,4$.
Левая часть: $(a + b) + c = (1,2 + 2,3) + 3,4 = 3,5 + 3,4 = 6,9$.
Правая часть: $a + (b + c) = 1,2 + (2,3 + 3,4) = 1,2 + 5,7 = 6,9$.
$6,9 = 6,9$. Равенство справедливо.
Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Правило вычитания числа из суммы
Для любых чисел $a$, $b$ и $c$, для которых вычитание возможно, справедливо равенство: $(a + b) - c = a + (b - c)$ или $(a + b) - c = (a - c) + b$.
Проверка:
Возьмем $a = 10,8$, $b = 5,3$ и $c = 2,1$.
Левая часть: $(a + b) - c = (10,8 + 5,3) - 2,1 = 16,1 - 2,1 = 14,0$.
Правая часть (вариант 1): $a + (b - c) = 10,8 + (5,3 - 2,1) = 10,8 + 3,2 = 14,0$.
Правая часть (вариант 2): $(a - c) + b = (10,8 - 2,1) + 5,3 = 8,7 + 5,3 = 14,0$.
$14,0 = 14,0 = 14,0$. Равенство справедливо.
Ответ: $(a + b) - c = a + (b - c) = (a - c) + b$.

Правило вычитания суммы из числа
Для любых чисел $a$, $b$ и $c$, для которых вычитание возможно, справедливо равенство: $a - (b + c) = a - b - c$.
Проверка:
Возьмем $a = 15,9$, $b = 4,5$ и $c = 3,2$.
Левая часть: $a - (b + c) = 15,9 - (4,5 + 3,2) = 15,9 - 7,7 = 8,2$.
Правая часть: $a - b - c = 15,9 - 4,5 - 3,2 = 11,4 - 3,2 = 8,2$.
$8,2 = 8,2$. Равенство справедливо.
Ответ: $a - (b + c) = a - b - c$.

На основании проведённых вычислений нельзя сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей.
Почему? Потому что проверка на нескольких частных примерах не является математическим доказательством. Существует бесконечное множество десятичных дробей, и мы не можем проверить все возможные комбинации. Чтобы правило считалось верным для всех чисел, оно должно быть доказано в общем виде, а не проверено на примерах.
Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае? Да, можно. Доказательство основано на том, что любая конечная десятичная дробь является представлением рационального числа (обыкновенной дроби со знаменателем в виде степени 10). Все перечисленные свойства и правила уже доказаны для рациональных чисел. Следовательно, они верны и для их частного случая — десятичных дробей.
Например, для доказательства переместительного свойства сложения $a+b=b+a$ можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных: $a = \frac{m}{10^k}$ и $b = \frac{n}{10^p}$. Приведя их к общему знаменателю, мы получим сложение целых чисел в числителе, для которых переместительное свойство известно ($M+N = N+M$). Аналогично доказываются и остальные свойства.
Ответ: Нет, на основании нескольких примеров нельзя сделать вывод для всех чисел. Да, эти правила можно доказать в общем случае, так как они являются следствием свойств действий с рациональными числами.