Номер 873, страница 186, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

873 Из записи десятичной дроби вычеркнули цифру, стоящую после запятой. Увеличилась или уменьшилась эта дробь, если:

а) эта цифра стояла в конце записи;

б) эта цифра стояла не в конце записи?

а) эта цифра стояла в конце записи

Рассмотрим, что произойдет с десятичной дробью, если вычеркнуть последнюю цифру после запятой. Существует два возможных исхода.

1. Вычеркнутая цифра — это любая цифра от 1 до 9. В этом случае мы удаляем ненулевой младший разряд дроби, тем самым уменьшая ее значение. Например, если из дроби $12,345$ вычеркнуть последнюю цифру 5, получится дробь $12,34$. Сравнивая исходную и новую дроби, видим, что $12,345 > 12,34$. Исходная дробь была больше, значит, после вычеркивания цифры она уменьшилась. В общем случае, если мы вычеркиваем последнюю цифру $d_n$, где $d_n \in \{1, 2, ..., 9\}$, то значение дроби уменьшается на величину $d_n \cdot 10^{-n}$, где $n$ — количество цифр после запятой в исходной дроби.

2. Вычеркнутая цифра — это 0. Нули, стоящие в конце дробной части десятичной дроби (справа), не влияют на ее величину. Например, $2,5 = 2,50$. Если из дроби $2,50$ вычеркнуть последнюю цифру 0, то получится дробь $2,5$. Значение дроби при этом не изменится: $2,50 = 2,5$.

Таким образом, если вычеркнутая цифра стояла в конце записи, дробь либо уменьшилась (если цифра была от 1 до 9), либо не изменилась (если цифра была 0). Дробь в этом случае никогда не увеличится.

Ответ: Если вычеркнутая последняя цифра была любой от 1 до 9, то дробь уменьшилась. Если вычеркнутая последняя цифра была 0, то дробь не изменилась.

б) эта цифра стояла не в конце записи

Если вычеркнутая цифра стояла не в конце записи, это означает, что после нее в записи дроби были еще другие цифры. При вычеркивании такой цифры все последующие цифры сдвигаются на одну позицию влево. Чтобы определить, увеличилась или уменьшилась дробь, нужно сравнить исходную дробь с получившейся поразрядно, слева направо.

Пусть исходная дробь — это $A$, а новая (после вычеркивания) — $B$. Рассмотрим возможные исходы на примерах.

Дробь может увеличиться.
Возьмем дробь $A = 5,274$. Вычеркнем цифру 2, стоящую на первом месте после запятой. Цифра, которая стояла за ней, — 7. Она займет место вычеркнутой цифры. Получим новую дробь $B = 5,74$. Сравним $A$ и $B$: $5,274$ и $5,74$. Целые части у них равны (5). Сравниваем цифры в разряде десятых: у $A$ это 2, у $B$ это 7. Поскольку $2 < 7$, то $5,274 < 5,74$. Следовательно, дробь увеличилась. Это происходит потому, что вычеркнутая цифра (2) оказалась меньше цифры, занявшей ее место (7).

Дробь может уменьшиться.
Возьмем дробь $A = 10,813$. Вычеркнем цифру 8. Цифра, которая стояла за ней, — 1. Она займет место вычеркнутой. Получим новую дробь $B = 10,13$. Сравним $A$ и $B$: $10,813$ и $10,13$. Целые части равны (10). Сравниваем цифры в разряде десятых: у $A$ это 8, у $B$ это 1. Поскольку $8 > 1$, то $10,813 > 10,13$. Следовательно, дробь уменьшилась. Это происходит потому, что вычеркнутая цифра (8) оказалась больше цифры, занявшей ее место (1).

Сравнение может затронуть и последующие разряды.
Рассмотрим дробь $A = 0,449$. Вычеркнем первую цифру 4. Следующая за ней цифра тоже 4. Новая дробь будет $B = 0,49$. Сравним $A$ и $B$: $0,449$ и $0,49$. Цифры в разряде десятых у них равны (4). Поэтому сравниваем следующие цифры, в разряде сотых: у $A$ это 4, у $B$ это 9. Поскольку $4 < 9$, то $0,449 < 0,49$. Дробь увеличилась.

Таким образом, если цифра была вычеркнута не в конце записи, дробь может как увеличиться, так и уменьшиться. Результат зависит от соотношения вычеркнутой цифры и цифр, следующих за ней.

Ответ: В этом случае дробь может как увеличиться, так и уменьшиться. Чтобы определить результат, нужно сравнить исходную и полученную дроби по правилам сравнения десятичных дробей.