Номер 874, страница 186, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

874 Какие из следующих дробей представимы в виде конечных десятичных:

1) $ \frac{25}{32} $, $ \frac{842}{64} $, $ \frac{3615}{20} $, $ \frac{1111111}{25} $, $ \frac{123123123}{320} $;

2) $ \frac{555}{24} $, $ \frac{789}{9} $, $ \frac{1001}{55} $, $ \frac{10011001}{66} $, $ \frac{100110011001}{66} $, $ \frac{222}{222222} $, $ \frac{111111}{74} $, $ \frac{999}{175} $?

Обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель ее несократимой формы не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Это означает, что знаменатель $q$ несократимой дроби $\frac{p}{q}$ должен иметь вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.

1)

Проанализируем каждую дробь из первого пункта:

• $ \frac{25}{32} $: Дробь является несократимой. Знаменатель $32 = 2^5$. Его разложение на простые множители содержит только множитель 2. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{842}{64} $: Сократим дробь на 2, получим $ \frac{421}{32} $. Дробь стала несократимой. Знаменатель $32 = 2^5$. Его разложение на простые множители содержит только множитель 2. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{3615}{20} $: Сократим дробь на 5, получим $ \frac{723}{4} $. Дробь стала несократимой. Знаменатель $4 = 2^2$. Его разложение на простые множители содержит только множитель 2. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{1111111}{25} $: Дробь является несократимой, так как числитель не делится на 5. Знаменатель $25 = 5^2$. Его разложение на простые множители содержит только множитель 5. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{123123123}{320} $: Знаменатель $320 = 32 \cdot 10 = 2^6 \cdot 5$. Числитель не делится ни на 2 (так как он нечетный), ни на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5). Значит, дробь несократимая. Разложение знаменателя на простые множители содержит только 2 и 5. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной.

Таким образом, все дроби в этом пункте представимы в виде конечных десятичных.

Ответ: $ \frac{25}{32}, \frac{842}{64}, \frac{3615}{20}, \frac{1111111}{25}, \frac{123123123}{320} $.

2)

Проанализируем каждую дробь из второго пункта:

• $ \frac{555}{24} $: Разложим числитель и знаменатель на множители: $555 = 3 \cdot 5 \cdot 37$, $24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3$. Сократив на 3, получаем $ \frac{185}{8} $. Знаменатель $8 = 2^3$. Дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{789}{9} $: Сократим дробь на 3 (сумма цифр числителя $7+8+9=24$ делится на 3): $ \frac{789}{9} = \frac{263}{3} $. В знаменателе несократимой дроби остался простой множитель 3. Дробь не представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{1001}{55} $: Разложим на множители: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, $55 = 5 \cdot 11$. Сократив на 11, получаем $ \frac{91}{5} $. Знаменатель $5 = 5^1$. Дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{10011001}{66} $: Разложим на множители: $10011001 = 1001 \cdot 10001 = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot 10001$, $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$. Сократив на 11, получаем $ \frac{910091}{6} $. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Числитель 910091 не делится на 3 (сумма цифр 20). В знаменателе несократимой дроби остается множитель 3. Дробь не представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{100110011001}{66} $: Числитель $100110011001$ делится на 3 (сумма цифр 6) и на 11 (т.к. $100110011001 = 1001 \cdot 100010001$). Знаменатель $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$. Дробь можно сократить на $3 \cdot 11 = 33$. После сокращения в знаменателе останется только $66/33 = 2$. Дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{222}{222222} $: Сократим дробь на 222: $ \frac{222}{222 \cdot 1001} = \frac{1}{1001} $. Знаменатель $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Содержит простые множители, отличные от 2 и 5. Дробь не представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{111111}{74} $: Разложим на множители: $111111 = 3 \cdot 37 \cdot 1001$, $74 = 2 \cdot 37$. Сократив на 37, получаем $ \frac{3003}{2} $. В знаменателе остался только множитель 2. Дробь представима в виде конечной десятичной.

• $ \frac{999}{175} $: Разложим на множители: $999 = 3^3 \cdot 37$, $175 = 5^2 \cdot 7$. Общих множителей нет, дробь несократима. В знаменателе есть простой множитель 7. Дробь не представима в виде конечной десятичной.

Ответ: $ \frac{555}{24}, \frac{1001}{55}, \frac{100110011001}{66}, \frac{111111}{74} $.