Номер 875, страница 186, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

875 Замени звёздочки цифрой так, чтобы оба высказывания были верными. Найди множество всех возможных решений:

1) $9,0* < 9,02$ И $5,14 \geq 5,*9$;

2) $3,8* \geq 3,87$ И $2,1*8 < 2,193$.

1)

В задаче даны два неравенства: $9,0* < 9,02$ и $5,14 \ge 5,*9$. Необходимо найти все цифры, которые можно подставить вместо звездочки, чтобы оба неравенства были верными.

Рассмотрим первое неравенство: $9,0* < 9,02$.
При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают их целые части, затем десятые, сотые и так далее. Целые части (9) и десятые (0) у чисел совпадают. Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде сотых у первого числа (на месте звездочки) должна быть меньше цифры в разряде сотых у второго числа (2). Таким образом, вместо звездочки можно подставить цифры 0 или 1. Множество подходящих цифр для первого неравенства: $\{0, 1\}$.

Рассмотрим второе неравенство: $5,14 \ge 5,*9$.
Целые части чисел равны (5). Сравниваем разряды десятых. Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде десятых первого числа (1) должна быть больше или равна цифре на месте звездочки. Если мы подставим 1 вместо звездочки, получим $5,14 \ge 5,19$, что является ложным утверждением. Следовательно, цифра на месте звездочки должна быть строго меньше 1. Единственная подходящая цифра — это 0. Множество подходящих цифр для второго неравенства: $\{0\}$.

Для того чтобы оба высказывания были верными, нужно найти общие решения для обоих неравенств. Это пересечение полученных множеств: $\{0, 1\} \cap \{0\} = \{0\}$.

Проверим: если подставить 0, получим $9,00 < 9,02$ (верно) и $5,14 \ge 5,09$ (верно). Оба неравенства выполняются.

Ответ: $\{0\}$.

2)

В задаче даны два неравенства: $3,8* \ge 3,87$ и $2,1*8 < 2,193$. Необходимо найти все цифры, которые можно подставить вместо звездочки, чтобы оба неравенства были верными.

Рассмотрим первое неравенство: $3,8* \ge 3,87$.
Целые части (3) и десятые (8) у чисел совпадают. Сравниваем разряд сотых. Чтобы неравенство было верным, цифра на месте звездочки должна быть больше или равна 7. Подходящие цифры: 7, 8, 9. Множество решений для первого неравенства: $\{7, 8, 9\}$.

Рассмотрим второе неравенство: $2,1*8 < 2,193$.
Целые части (2) и десятые (1) у чисел совпадают. Сравниваем разряд сотых. Чтобы неравенство было верным, цифра на месте звездочки должна быть меньше 9. Если подставить 9, получим $2,198 < 2,193$, что ложно. Если же цифра на месте звездочки меньше 9 (т.е. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8), то неравенство будет верным, так как даже при самой большой из этих цифр (8), мы получим $2,188 < 2,193$, что верно. Множество решений для второго неравенства: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Для того чтобы оба высказывания были верными, нужно найти пересечение множеств решений для обоих неравенств: $\{7, 8, 9\} \cap \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} = \{7, 8\}$.

Проверим:
При подстановке 7: $3,87 \ge 3,87$ (верно) и $2,178 < 2,193$ (верно).
При подстановке 8: $3,88 \ge 3,87$ (верно) и $2,188 < 2,193$ (верно).

Ответ: $\{7, 8\}$.