Номер 972, страница 204, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

972 Запиши с помощью букв переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Проверь справедливость записанных равенств для значений букв, взятых из множества десятичных дробей по собственному выбору. Можно ли на основании проведённых тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей? Почему? Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае?

Переместительное свойство умножения:

$a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательное свойство умножения:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Распределительное свойство умножения:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Проверка:

Выберем произвольные десятичные дроби: пусть $a = 1.2$ и $b = 0.5$.

Вычислим левую часть равенства: $a \cdot b = 1.2 \cdot 0.5 = 0.6$.

Вычислим правую часть равенства: $b \cdot a = 0.5 \cdot 1.2 = 0.6$.

Так как $0.6 = 0.6$, равенство для выбранных значений справедливо.

Ответ: Переместительное свойство умножения записывается формулой $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное свойство умножения

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Проверка:

Выберем произвольные десятичные дроби: пусть $a = 1.2$, $b = 0.5$ и $c = 2.4$.

Вычислим левую часть равенства: $(a \cdot b) \cdot c = (1.2 \cdot 0.5) \cdot 2.4 = 0.6 \cdot 2.4 = 1.44$.

Вычислим правую часть равенства: $a \cdot (b \cdot c) = 1.2 \cdot (0.5 \cdot 2.4) = 1.2 \cdot 1.2 = 1.44$.

Так как $1.44 = 1.44$, равенство для выбранных значений справедливо.

Ответ: Сочетательное свойство умножения записывается формулой $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Распределительное свойство умножения

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Проверка:

Выберем те же значения: $a = 1.2$, $b = 0.5$ и $c = 2.4$.

Вычислим левую часть равенства: $a \cdot (b + c) = 1.2 \cdot (0.5 + 2.4) = 1.2 \cdot 2.9 = 3.48$.

Вычислим правую часть равенства: $a \cdot b + a \cdot c = 1.2 \cdot 0.5 + 1.2 \cdot 2.4 = 0.6 + 2.88 = 3.48$.

Так как $3.48 = 3.48$, равенство для выбранных значений справедливо.

Ответ: Распределительное свойство умножения записывается формулой $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Можно ли на основании проведённых тобой вычислений сделать вывод о справедливости указанных правил для любых десятичных дробей?

Нет, на основании проверки справедливости равенств для нескольких конкретных примеров нельзя сделать общий вывод, что эти правила верны для абсолютно всех десятичных дробей. В математике проверка на частных примерах не является доказательством общего утверждения.

Ответ: Нет, нельзя.

Почему?

Потому что существует бесконечное множество десятичных дробей. Проверка на одном, двух или даже миллионе примеров не гарантирует, что не найдется такой пример, для которого правило не будет выполняться. Чтобы утверждение считалось верным для всех чисел, оно должно быть доказано в общем виде, для произвольных чисел, а не для конкретных.

Ответ: Проверка на конечном числе примеров не может служить доказательством для бесконечного множества случаев.

Можешь ли ты доказать их справедливость в общем случае?

Да, можно доказать справедливость этих свойств в общем случае. Доказательство строится на том, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом и может быть представлена в виде обыкновенной дроби, у которой знаменатель — это степень числа 10 (например, $1.2 = \frac{12}{10}$). Для обыкновенных (рациональных) дробей эти свойства уже доказаны. Они, в свою очередь, выводятся из свойств операций над целыми числами.

Приведем схему доказательства для переместительного свойства. Пусть $a$ и $b$ — две произвольные десятичные дроби. Представим их в виде обыкновенных дробей:

$a = \frac{m}{10^k}$ и $b = \frac{n}{10^l}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а $k$ и $l$ — целые неотрицательные числа.

Рассмотрим их произведение:

$a \cdot b = \frac{m}{10^k} \cdot \frac{n}{10^l} = \frac{m \cdot n}{10^k \cdot 10^l}$

Так как для целых чисел $m$ и $n$ справедливо переместительное свойство умножения ($m \cdot n = n \cdot m$), то мы можем поменять их местами в числителе:

$\frac{m \cdot n}{10^k \cdot 10^l} = \frac{n \cdot m}{10^l \cdot 10^k} = \frac{n}{10^l} \cdot \frac{m}{10^k} = b \cdot a$

Таким образом, мы показали, что $a \cdot b = b \cdot a$ для любых десятичных дробей. Аналогичные рассуждения, основанные на свойствах целых чисел, позволяют доказать сочетательное и распределительное свойства.

Ответ: Да, справедливость этих свойств можно доказать в общем случае, представив десятичные дроби в виде обыкновенных и применив уже доказанные свойства умножения для рациональных чисел.