Номер 3.149, страница 95, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 3. Умножение и деление натуральных чисел. 14. Деление с остатком - номер 3.149, страница 95.

Условие.

3.149 Укажите все возможные значения делителя и остатка.

Делимое, а	57	71	156	396	83
Делитель, b
Неполное частное, q	5	4	7	10	8
Остаток, r

Решение 1.

Делимое, а	57	71	156	396	83
Делитель, b	10; 11	15; 16; 17	22; 21; 20	39; 38; 37	10
Неполное частное, q	5	4	7	10	8
Остаток, r	7; 2	11; 7; 3	2; 9; 16	6; 16; 26	3

$a = bq + r,$ $r<b$

1)

$b = 10$
$57 = 10 \cdot 5 + r$,
$r = 57 - 50$
$r = 7$
$7<10$ – верно 

$b = 11$
$57 = 11 \cdot 5 + r$
$r = 57 - 55$
$r = 2$
$2<11$– верно 

$b = 12$
$57 = 12 \cdot 5 + r$
$r = 57 - 60$ – неверно

2)

$b = 15$
$71 = 15 \cdot 4 + r$
$r = 71 - 60$
$r = 11$
$11<15$ – верно 

$b = 16$
$71 = 16 \cdot 4 + r$
$r = 71 - 64$
$r = 7$
$7<16$- верно 

$b = 17$
$71 = 17 \cdot 4 + r$
$r = 71 - 68$
$r = 3$
$3<17$ – верно 

$b = 18$
$71 = 18 \cdot 4 + r$
$r = 71 - 72$- неверно

3)

$b = 22$
$156 = 22 \cdot 7 + 2$ 

$b = 21$
$156 = 21 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 147$
$r = 9$
$9<21$ – верно 

$b = 20$
$156 = 20 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 140$
$r = 16$
$16<20$ – верно 

$b = 19$
$156 = 19 \cdot 7 + r$
$r = 156 - 133$
$r = 23$
$23<19$ – неверно

4)

$b = 39$
$396 = 39 \cdot 10 + 6$ 

$b = 38$
$396 = 38 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 380$
$r = 16$
$16<38$ – верно 

$b = 37$
$396 = 37 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 370$
$r = 26$
$26<37$ – верно 

$b = 36$
$396 = 36 \cdot 10 + r$
$r = 396 - 360$
$r = 36$
$36<36$ – неверно

5)

$83 : 8 = 10$(ост. 3)
$b = 10$
$83 = 10 \cdot 8 + 3$ 

$b = 9$
$83 = 8 \cdot 9 + r$
$r = 83 - 72$
$r = 11$
$11<9$ – неверно

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся формулой деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. Ключевым условием является то, что остаток должен быть неотрицательным и строго меньше делителя: $0 \le r < b$.

Для a = 57, q = 5

Из формулы $a = bq + r$ получаем $57 = b \cdot 5 + r$, откуда $r = 57 - 5b$.
Подставляем это выражение в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 57 - 5b < b$.
Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:
1) $0 \le 57 - 5b \implies 5b \le 57 \implies b \le 11.4$
2) $57 - 5b < b \implies 57 < 6b \implies b > 9.5$
Таким образом, делитель $b$ должен быть целым числом, удовлетворяющим условию $9.5 < b \le 11.4$. Возможные значения для $b$: 10 и 11.
Найдем соответствующие значения остатка $r$:
- при $b = 10$, $r = 57 - 5 \cdot 10 = 7$.
- при $b = 11$, $r = 57 - 5 \cdot 11 = 2$.

Ответ: делитель 10, остаток 7; или делитель 11, остаток 2.

Для a = 71, q = 4

Из формулы $a = bq + r$ получаем $71 = b \cdot 4 + r$, откуда $r = 71 - 4b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 71 - 4b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 71 - 4b \implies 4b \le 71 \implies b \le 17.75$
2) $71 - 4b < b \implies 71 < 5b \implies b > 14.2$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(14.2, 17.75]$. Возможные значения для $b$: 15, 16, 17.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 15$, $r = 71 - 4 \cdot 15 = 11$.
- при $b = 16$, $r = 71 - 4 \cdot 16 = 7$.
- при $b = 17$, $r = 71 - 4 \cdot 17 = 3$.

Ответ: делитель 15, остаток 11; или делитель 16, остаток 7; или делитель 17, остаток 3.

Для a = 156, q = 7

Из формулы $a = bq + r$ получаем $156 = b \cdot 7 + r$, откуда $r = 156 - 7b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 156 - 7b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 156 - 7b \implies 7b \le 156 \implies b \le \frac{156}{7} \approx 22.28$
2) $156 - 7b < b \implies 156 < 8b \implies b > \frac{156}{8} = 19.5$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(19.5, 22.28]$. Возможные значения для $b$: 20, 21, 22.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 20$, $r = 156 - 7 \cdot 20 = 16$.
- при $b = 21$, $r = 156 - 7 \cdot 21 = 9$.
- при $b = 22$, $r = 156 - 7 \cdot 22 = 2$.

Ответ: делитель 20, остаток 16; или делитель 21, остаток 9; или делитель 22, остаток 2.

Для a = 396, q = 10

Из формулы $a = bq + r$ получаем $396 = b \cdot 10 + r$, откуда $r = 396 - 10b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 396 - 10b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 396 - 10b \implies 10b \le 396 \implies b \le 39.6$
2) $396 - 10b < b \implies 396 < 11b \implies b > \frac{396}{11} = 36$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(36, 39.6]$. Возможные значения для $b$: 37, 38, 39.
Найдем соответствующие остатки $r$:
- при $b = 37$, $r = 396 - 10 \cdot 37 = 26$.
- при $b = 38$, $r = 396 - 10 \cdot 38 = 16$.
- при $b = 39$, $r = 396 - 10 \cdot 39 = 6$.

Ответ: делитель 37, остаток 26; или делитель 38, остаток 16; или делитель 39, остаток 6.

Для a = 83, q = 8

Из формулы $a = bq + r$ получаем $83 = b \cdot 8 + r$, откуда $r = 83 - 8b$.
Подставляем в неравенство $0 \le r < b$:
$0 \le 83 - 8b < b$.
Решаем систему:
1) $0 \le 83 - 8b \implies 8b \le 83 \implies b \le 10.375$
2) $83 - 8b < b \implies 83 < 9b \implies b > \frac{83}{9} \approx 9.22$
Таким образом, $b$ — целое число в интервале $(9.22, 10.375]$. Единственное возможное значение для $b$: 10.
Найдем соответствующий остаток $r$:
- при $b = 10$, $r = 83 - 8 \cdot 10 = 3$.

Ответ: делитель 10, остаток 3.

Решение 3.

Решение 4.