Номер 3.148, страница 95, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 3. Умножение и деление натуральных чисел. 14. Деление с остатком - номер 3.148, страница 95.

Условие.

3.148 Заполните таблицу.

Делимое, а	58	58	58	58
Делитель, b
Неполное частное, q	3	3	3	3
Остаток, r	13	10

Могут ли быть другие случаи деления с остатком с делимым 58 и неполным частным 3?

Решение 1.

Делимое, a	58	58	58	58	58
Делитель, b	15	16	17	18	19
Неполное частное, q	3	3	3	3	3
Остаток, r	13	10	7	4	1

1) x - делитель

$58 : x = 3$(ост. 13)
$58 = 3x + 13$
$3x = 58 - 13$
$3x = 45$
$x = 45 : 3$
$x = 15$

2) x - делитель

$58 : x = 3$(ост. 10)
$58 = 3x + 10$
$3x = 58 - 10$
$3x = 48$
$x = 48 : 3$
$x = 16$

3) Будем увеличивать на 1 делитель до тех пор, пока неполное частное будет оставаться число 3.

$b = 17$
$58 : 17 = 3$(ост. 7)

4)

$b = 18$
$58 : 18 = 3$(ост. 4)

5)

$b = 19$
$58 : 19 = 3$(ост. 1)

Решение 2.

Заполните таблицу.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой деления с остатком: $a = b \cdot q + r$. В этой формуле a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, а r — остаток. Ключевым условием является то, что остаток всегда неотрицателен и строго меньше делителя: $0 \le r < b$.

Согласно условию, во всех случаях делимое $a = 58$ и неполное частное $q = 3$. Подставив эти значения в формулу, получим: $58 = b \cdot 3 + r$.

Из этого уравнения можно выразить делитель b через остаток r: $3b = 58 - r$ $b = \frac{58 - r}{3}$

Заполнение первого и второго столбцов:

Для первого столбца дан остаток $r = 13$. Найдем соответствующий делитель b: $b = \frac{58 - 13}{3} = \frac{45}{3} = 15$. Проверим выполнение условия $r < b$: $13 < 15$. Условие выполнено. Таким образом, в первой пустой ячейке должно стоять число 15.

Для второго столбца дан остаток $r = 10$. Найдем делитель b: $b = \frac{58 - 10}{3} = \frac{48}{3} = 16$. Проверим условие $r < b$: $10 < 16$. Условие выполнено. Во второй пустой ячейке должно стоять число 16.

Заполнение остальных столбцов:

Чтобы заполнить остальные столбцы, нам нужно найти все возможные пары (b, r). Из формулы $b = \frac{58 - r}{3}$ видно, что для целочисленности b необходимо, чтобы разность $(58 - r)$ была кратна 3. Число 58 при делении на 3 дает в остатке 1 (так как $58 = 19 \cdot 3 + 1$). Следовательно, чтобы разность $(58 - r)$ делилась на 3, остаток r также должен давать 1 при делении на 3.

Теперь используем условие $r < b$. Подставим в него выражение для b: $r < \frac{58 - r}{3}$ $3r < 58 - r$ $4r < 58$ $r < 14.5$

Таким образом, мы ищем все целые числа r, которые удовлетворяют условиям: $0 \le r < 14.5$ и остаток от деления r на 3 равен 1. Переберем возможные значения: $r = 1, 4, 7, 10, 13$.

Для каждого найденного r вычислим соответствующее значение b:

• Если $r=13$, то $b = (58 - 13) / 3 = 15$.
• Если $r=10$, то $b = (58 - 10) / 3 = 16$.
• Если $r=7$, то $b = (58 - 7) / 3 = 17$.
• Если $r=4$, то $b = (58 - 4) / 3 = 18$.
• Если $r=1$, то $b = (58 - 1) / 3 = 19$.

Эти пять пар являются всеми возможными решениями. Теперь мы можем заполнить всю таблицу.

Итоговая таблица:

Делимое, a	58	58	58	58	58
Делитель, b	15	16	17	18	19
Неполное частное, q	3	3	3	3	3
Остаток, r	13	10	7	4	1

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Могут ли быть другие случаи деления с остатком с делимым 58 и неполным частным 3?

Да, могут. Как было показано в ходе анализа для заполнения таблицы, существует всего 5 различных пар делителя и остатка, которые удовлетворяют заданным условиям ($a=58, q=3$). Эти пары (делитель b, остаток r): (15, 13), (16, 10), (17, 7), (18, 4), (19, 1).

Поскольку в исходной таблице были даны только два случая (для $r=13$ и $r=10$), то существуют и другие случаи.

Ответ: Да, существуют еще 3 случая. Это деление 58 на 17 с остатком 7; деление 58 на 18 с остатком 4; и деление 58 на 19 с остатком 1.

Решение 3.

Решение 4.