Номер 3.400, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.400, страница 127.

3.400 Если к числу a прибавить 75, то полученное число разделится без остатка на 7. Чему равен остаток от деления числа a на 7?

$(a + 75) : 7$ без остатка

Используем признак делимости суммы: если каждое слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.

$(a + 77 - 2) : 7$

$(a - 2 + 77) : 7$

а - 2 делится на 7 без остатка

при

а = 9, $(9 - 2) : 7 = 1$
а = 16, $(16 - 2) : 7 = 2$
а = 23, $(23 - 2) : 7 = 3$
а = 30, $(30 - 2) : 7 = 4$ и т.д.

Числа 9; 16; 23; 30 и т.д. при делении на 7 имеют остаток 2.

Значит, остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2.

Ответ: 2.

По условию задачи, число $a + 75$ делится на 7 без остатка. Это означает, что остаток от деления $a + 75$ на 7 равен 0. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать так:

$a + 75 \equiv 0 \pmod{7}$

Нам необходимо найти остаток от деления числа $a$ на 7. Обозначим этот искомый остаток буквой $r$. Тогда $a \equiv r \pmod{7}$, где $r$ — целое число от 0 до 6.

Для решения задачи сначала найдем остаток от деления числа 75 на 7:

$75 \div 7 = 10$ с остатком $5$, так как $75 = 7 \cdot 10 + 5$.

Следовательно, $75 \equiv 5 \pmod{7}$.

Теперь мы можем заменить число 75 на его остаток в исходном сравнении:

$a + 5 \equiv 0 \pmod{7}$

Чтобы выразить $a$, вычтем 5 из обеих частей этого сравнения:

$a \equiv -5 \pmod{7}$

Остаток от деления должен быть неотрицательным числом. Чтобы найти стандартное значение остатка, мы можем прибавить к отрицательному числу (-5) модуль (7) до тех пор, пока не получим число в диапазоне от 0 до 6.

$a \equiv -5 + 7 \pmod{7}$

$a \equiv 2 \pmod{7}$

Таким образом, остаток от деления числа $a$ на 7 равен 2.

Ответ: 2