Номер 3.401, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 3. Умножение и деление натуральных чисел. 19. Свойства и признаки делимости - номер 3.401, страница 127.

Условие.

3.401 Фермеру надо засеять пять полей рожью.

а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность?

б) Сколькими способами можно установить очерёдность, если первым засеять третье поле, а вторым - четвёртое?

Решение 1.

а) Первый фермер может засеять любое поле из пяти и выбрать его он может пятью способами. Вторым - любое поле из четырех оставшихся. Выбрать его он может четырьмя способами. Третьим - любое поле из трех оставшихся. Выбирает его тремя способами. Четвертым - любое поле из двух оставшихся. Выбирает его двумя способами. Пятым - последнее оставшееся поле. Значит, фермер может установить очередность $5 · 4 ·3 · 2 · 1 = 120$ способами.

Ответ: 120 способами.

б) Если первым засеять третье поле, вторым - четвёртое, то третьим можно засеять любое из трёх оставшихся полей и выбрать его можно тремя способами. Четвертым можно засеять любое поле из двух оставшихся и выбрать его можно двумя способами. Пятым засевают последнее оставшееся поле. В таком случае, очередность засевания полей можно выбрать$1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 6$ способами.

Ответ: 6 способами.

Решение 2.

а)

Для того чтобы определить, сколькими способами можно установить очерёдность посева пяти полей, необходимо найти число всех возможных перестановок этих полей. Число перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).

В данном случае у нас 5 полей, то есть $n=5$. Рассчитаем количество способов:

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов установить очерёдность посева.

Ответ: 120.

б)

По условию, очерёдность для первых двух этапов посева строго определена:

1. Первым засеивается третье поле.

2. Вторым засеивается четвёртое поле.

Поскольку первые две позиции в очерёдности зафиксированы, нам остаётся определить порядок посева для оставшихся трёх полей (первого, второго и пятого) на оставшихся трёх местах (третьем, четвёртом и пятом).

Количество способов расставить 3 поля по 3 местам равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Следовательно, при заданных условиях существует 6 способов установить очерёдность.

Ответ: 6.

Решение 3.

Решение 4.