Номер 3.401, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.401, страница 127.

3.401 Фермеру надо засеять пять полей рожью.

а) Сколькими способами можно установить для них очерёдность?

б) Сколькими способами можно установить очерёдность, если первым засеять третье поле, а вторым - четвёртое?

а) Первый фермер может засеять любое поле из пяти и выбрать его он может пятью способами. Вторым - любое поле из четырех оставшихся. Выбрать его он может четырьмя способами. Третьим - любое поле из трех оставшихся. Выбирает его тремя способами. Четвертым - любое поле из двух оставшихся. Выбирает его двумя способами. Пятым - последнее оставшееся поле. Значит, фермер может установить очередность $5 · 4 ·3 · 2 · 1 = 120$ способами.

Ответ: 120 способами.

б) Если первым засеять третье поле, вторым - четвёртое, то третьим можно засеять любое из трёх оставшихся полей и выбрать его можно тремя способами. Четвертым можно засеять любое поле из двух оставшихся и выбрать его можно двумя способами. Пятым засевают последнее оставшееся поле. В таком случае, очередность засевания полей можно выбрать$1 · 1 · 3 · 2 · 1 = 6$ способами.

Ответ: 6 способами.

а)

Для того чтобы определить, сколькими способами можно установить очерёдность посева пяти полей, необходимо найти число всех возможных перестановок этих полей. Число перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал).

В данном случае у нас 5 полей, то есть $n=5$. Рассчитаем количество способов:

$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов установить очерёдность посева.

Ответ: 120.

б)

По условию, очерёдность для первых двух этапов посева строго определена:

1. Первым засеивается третье поле.

2. Вторым засеивается четвёртое поле.

Поскольку первые две позиции в очерёдности зафиксированы, нам остаётся определить порядок посева для оставшихся трёх полей (первого, второго и пятого) на оставшихся трёх местах (третьем, четвёртом и пятом).

Количество способов расставить 3 поля по 3 местам равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Следовательно, при заданных условиях существует 6 способов установить очерёдность.

Ответ: 6.