Номер 3.404, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.404, страница 127.

3.404 Является ли чётным числом:

а) квадрат нечётного числа;

б) куб нечётного числа;

в) куб чётного числа?

a) квадрат нечётного числа не является чётным числом $3^2 = 3 · 3 = 9$ – нечётное;

б) куб нечётного числа не является чётным числом $3^3 = 3 · 3 · 3 = 27$ – нечётное;

в) куб чётного числа является чётным числом $4^3 = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64$ – чётное.

Ответ: a) нет; б) нет; в) да.

а) квадрат нечётного числа

Чтобы определить, является ли квадрат нечётного числа чётным, воспользуемся общим видом нечётного числа. Любое нечётное число $n$ можно представить формулой $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Возведём это выражение в квадрат, чтобы найти квадрат нечётного числа: $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых: $4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $m = 2k^2 + 2k$. Поскольку $k$ — целое число, $m$ также будет целым числом. Тогда квадрат нечётного числа можно представить в виде $2m + 1$.

Выражение вида $2m + 1$ по определению является нечётным числом. Следовательно, квадрат нечётного числа всегда является нечётным числом.

Ответ: Нет, квадрат нечётного числа является нечётным числом.

б) куб нечётного числа

Аналогично предыдущему пункту, представим нечётное число в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число.

Найдём куб этого числа. Куб нечётного числа — это произведение трёх нечётных чисел: $(2k+1) \cdot (2k+1) \cdot (2k+1)$. Произведение нечётных чисел всегда даёт нечётное число. Следовательно, куб нечётного числа также будет нечётным.

Докажем это алгебраически. Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $n^3 = (2k + 1)^3 = (2k)^3 + 3 \cdot (2k)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2k) \cdot 1^2 + 1^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых трёх слагаемых: $8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $p = 4k^3 + 6k^2 + 3k$. Поскольку $k$ — целое число, $p$ также является целым числом. Выражение для куба нечётного числа можно записать как $2p + 1$.

Это формула нечётного числа. Значит, куб нечётного числа всегда нечётен.

Ответ: Нет, куб нечётного числа является нечётным числом.

в) куб чётного числа?

Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — любое целое число.

Возведём это выражение в куб: $n^3 = (2k)^3 = 2^3 \cdot k^3 = 8k^3$.

Чтобы проверить, является ли результат чётным, посмотрим, делится ли он на 2. Число $8k^3$ можно представить в виде $2 \cdot (4k^3)$. Поскольку в произведении есть множитель 2, то всё число $8k^3$ делится на 2 нацело.

Обозначим выражение в скобках как $q = 4k^3$. Так как $k$ — целое число, то и $q$ будет целым. Тогда куб чётного числа можно записать как $2q$.

Выражение вида $2q$ по определению является чётным числом. Следовательно, куб любого чётного числа всегда является чётным числом.

Ответ: Да, куб чётного числа является чётным числом.