Номер 3.406, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.406, страница 127.

3.406 Всегда ли верно:

а) если каждое слагаемое кратно числу n, то и сумма кратна числу n;

б) если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n?

a) По свойству делимости суммы каждое слагаемое кратно n, то и сумма кратна n.

Ответ: верно всегда.

б) Если уменьшаемое и вычитаемое не кратны числу n, то разность кратна числу n.

Это утверждение верно не всегда.

Например, числа 9 и 3 не кратны 2, а их разность $9 - 3 = 6$ кратна 2.

Это утверждение верно.

Числа 22 и 14 не кратны 3 и разность $22 - 14 = 8$ так же не кратна 3.

Значит, данное утверждение неверно.

Ответ: верно не всегда.

а) Да, это утверждение всегда верно. Давайте докажем это с помощью свойств делимости.

Если число $a$ кратно числу $n$, то его можно представить в виде $a = k \cdot n$, где $k$ — некоторое целое число.

Пусть у нас есть сумма нескольких слагаемых, например, $a_1, a_2, \dots, a_m$. По условию, каждое из этих слагаемых кратно числу $n$. Это значит, что:

$a_1 = k_1 \cdot n$

$a_2 = k_2 \cdot n$

...

$a_m = k_m \cdot n$

где $k_1, k_2, \dots, k_m$ — целые числа.

Найдем их сумму $S$:

$S = a_1 + a_2 + \dots + a_m = (k_1 \cdot n) + (k_2 \cdot n) + \dots + (k_m \cdot n)$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки, используя распределительный закон:

$S = n \cdot (k_1 + k_2 + \dots + k_m)$

Сумма целых чисел $(k_1 + k_2 + \dots + k_m)$ также является целым числом. Обозначим эту сумму как $K$.

Тогда $S = n \cdot K$.

Это выражение по определению означает, что сумма $S$ кратна числу $n$. Утверждение доказано.

Например, для $n=7$, слагаемые 14 и 21 кратны 7. Их сумма $14 + 21 = 35$ также кратна 7 ($35 = 5 \cdot 7$).

Ответ: да, верно.

б) Нет, это утверждение не всегда верно. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно найти хотя бы один пример, где оно не выполняется (такой пример называется контрпримером).

Условие: уменьшаемое $a$ и вычитаемое $b$ не кратны числу $n$.

Предполагаемое заключение: разность $(a-b)$ кратна числу $n$.

Рассмотрим контрпример.

Пусть $n = 5$.

В качестве уменьшаемого возьмем $a = 12$. Число 12 не кратно 5 (при делении на 5 дает остаток 2).

В качестве вычитаемого возьмем $b = 8$. Число 8 не кратно 5 (при делении на 5 дает остаток 3).

Оба числа, 12 и 8, удовлетворяют условию — они не кратны 5.

Найдем их разность:

$a - b = 12 - 8 = 4$

Полученная разность, равная 4, не кратна числу 5. Следовательно, заключение не выполнилось.

Поскольку мы нашли случай, когда условие истинно, а заключение ложно, мы можем утверждать, что исходное утверждение не всегда верно.

Заметим, что это утверждение будет верным только в том случае, если уменьшаемое и вычитаемое при делении на число $n$ дают одинаковые остатки. Например, если $n=5$, $a=12$ (остаток 2) и $b=7$ (остаток 2), то их разность $12 - 7 = 5$ кратна 5. Но поскольку это выполняется не для всех случаев, общее утверждение неверно.

Ответ: нет, не всегда верно.