Номер 3.413, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.413, страница 127.

3.413 Верно ли, что чётным числом является:

а) сумма двух чётных чисел;

б) разность двух нечётных чисел;

в) произведение двух чётных чисел;

г) произведение двух нечётных чисел?

а) Верно, $6 + 8 = 14$

б) Верно, $11 - 7 = 4$

в) Верно, $8 · 4 = 32$

г) Неверно, $3 · 7 = 21$

а) сумма двух чётных чисел;

Да, это утверждение верно. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Возьмём два произвольных чётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их сумма будет равна: $a + b = 2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их сумма $(k_1 + k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = k_1 + k_2$. Тогда сумма $a+b$ равна $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $4 + 8 = 12$.

Ответ: да, верно.

б) разность двух нечётных чисел;

Да, это утверждение верно. Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их разность будет равна: $a - b = (2k_1 + 1) - (2k_2 + 1) = 2k_1 + 1 - 2k_2 - 1 = 2k_1 - 2k_2 = 2(k_1 - k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, их разность $(k_1 - k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = k_1 - k_2$. Тогда разность $a-b$ равна $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $9 - 3 = 6$.

Ответ: да, верно.

в) произведение двух чётных чисел;

Да, это утверждение верно. Возьмём два произвольных чётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1$ и $b = 2k_2$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их произведение будет равно: $a \cdot b = (2k_1) \cdot (2k_2) = 4k_1k_2 = 2(2k_1k_2)$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, выражение $(2k_1k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = 2k_1k_2$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2k_3$, что по определению является чётным числом. Например, $2 \cdot 6 = 12$.

Ответ: да, верно.

г) произведение двух нечётных чисел?

Нет, это утверждение неверно. Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Их можно записать как $a = 2k_1 + 1$ и $b = 2k_2 + 1$, где $k_1$ и $k_2$ — некоторые целые числа. Их произведение будет равно: $a \cdot b = (2k_1 + 1)(2k_2 + 1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$. Вынесем 2 за скобки у первых трёх слагаемых: $a \cdot b = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$. Поскольку $k_1$ и $k_2$ — целые числа, выражение в скобках $(2k_1k_2 + k_1 + k_2)$ также является целым числом. Обозначим $k_3 = 2k_1k_2 + k_1 + k_2$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2k_3 + 1$, что по определению является нечётным числом, а не чётным. Например, $3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: нет, неверно.