Номер 3.412, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.412, страница 127.

3.412 Сколько трёхзначных чисел можно составить из различных чётных цифр, не используя 0?

Чётные цифры: 2; 4; 6; 8.

Первую цифру в разряд сотен можно выбрать четырьмя способами. Вторую цифру в разряд десятков можно выбрать тремя оставшимися способами. Третью цифру в разряд единиц можно выбрать двумя оставшимися способами. Значит, из чётных цифр, не считая нуля, можно составить $4 · 3 · 2 = 24$ трёхзначных числа.

Ответ: 24 трёхзначных числа.

Для решения этой задачи необходимо определить, из какого набора цифр можно составлять числа, а затем посчитать количество возможных комбинаций, учитывая, что все цифры в числе должны быть разными.

Сначала определим множество доступных цифр. Согласно условию, мы должны использовать чётные цифры, но не использовать цифру 0. Множество всех чётных цифр — это {0, 2, 4, 6, 8}. Исключив 0, мы получаем следующий набор для составления чисел: {2, 4, 6, 8}. Таким образом, в нашем распоряжении 4 различные цифры.

Нам нужно составить трёхзначные числа. Это значит, что каждое число состоит из трёх позиций: сотен, десятков и единиц. Так как все цифры в числе должны быть различными, мы будем выбирать их без повторений.

Применим комбинаторное правило умножения для подсчёта вариантов:

На первую позицию (разряд сотен) можно поставить любую из 4-х доступных цифр. Следовательно, у нас есть 4 способа выбора.

После выбора первой цифры, для второй позиции (разряд десятков) остаётся 3 доступные цифры, так как одна уже использована. Следовательно, у нас есть 3 способа выбора.

Для третьей позиции (разряд единиц) остаётся 2 неиспользованные цифры. Следовательно, у нас есть 2 способа выбора.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, необходимо перемножить количество способов для каждой позиции:
$4 \times 3 \times 2 = 24$

Этот же результат можно получить, используя формулу для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которая имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашей задаче общее количество элементов $n=4$ (цифры 2, 4, 6, 8), а выбираем мы по $k=3$ элемента (поскольку число трёхзначное):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа составить трёхзначное число из различных чётных цифр, не используя 0.

Ответ: 24