Номер 3.405, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.405, страница 127.

3.405 Ширина прямоугольника 60 см. Верно ли, что значение площади (в квадратных сантиметрах):

а) кратно 2;

б) кратно 5;

в) кратно 6;

г) кратно 9;

д) кратно 12?

Пусть a см - длина прямоугольника, тогда 60a кв. см – площадь прямоугольника.

а) По свойству делимости произведения 60 кратно 2. Значит, 60a кратно 2;

б) По свойству делимости произведения 60 кратно 5. Значит, 60a кратно 5;

в) По свойству делимости произведения 60 кратно 6. Значит, 60a кратно 6;

г) Площадь прямоугольника будет кратна 9 только тогда, если длина a будет кратна 9;

д) По свойству делимости произведения 60 кратно 12. Значит, 60a кратно 12.

Ответ: а) верно; б) верно; в) верно; г) зависит от длины прямоугольника; д) верно.

Пусть ширина прямоугольника равна $b$, а длина — $a$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

По условию задачи, ширина $b = 60$ см. Следовательно, площадь равна $S = a \cdot 60$ см?.

Чтобы ответить на вопросы, мы должны определить, будет ли значение площади $S$ всегда кратно указанным числам, независимо от длины $a$. В задачах на делимость обычно предполагается, что все измерения являются целыми числами. Будем считать, что длина $a$ — это целое число сантиметров.

Свойство делимости произведения гласит: если один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Мы будем проверять, делится ли число 60 на 2, 5, 6, 9 и 12.

а) кратно 2

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 2. Число 60 является чётным, оно делится на 2 без остатка ($60 = 2 \cdot 30$). Поскольку один из множителей (60) делится на 2, то и всё произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 2 при любом целом значении длины $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

б) кратно 5

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 5. Число 60 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 5 без остатка ($60 = 5 \cdot 12$). Так как один из множителей (60) делится на 5, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 5 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

в) кратно 6

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 6. Число 60 делится на 6 без остатка ($60 = 6 \cdot 10$). Поскольку множитель 60 делится на 6, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 6 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.

г) кратно 9

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 9. Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Сумма цифр числа 60 равна $6+0=6$, что не делится на 9. Следовательно, 60 не кратно 9. Площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 9 только в том случае, если второй множитель (длина $a$) "добавит" недостающий множитель 3. То есть, если $a$ будет кратно 3. Однако длина $a$ может быть любым целым числом. Например, если взять длину $a = 1$ см, то площадь будет равна $S = 1 \cdot 60 = 60$ см?. Число 60 не кратно 9. Поскольку существует хотя бы один случай, когда площадь не кратна 9, утверждение не является верным для любого прямоугольника с шириной 60 см.

Ответ: Нет, неверно.

д) кратно 12

Проверим, всегда ли площадь $S = a \cdot 60$ будет кратна 12. Число 60 делится на 12 без остатка ($60 = 12 \cdot 5$). Поскольку один из множителей (60) делится на 12, то и произведение $S = a \cdot 60$ будет делиться на 12 при любом целом значении $a$. Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.