Номер 5.431, страница 70, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

36. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.431, страница 70.

5.431 Развивай внимание. Запишите дробь, у которой числитель и знаменатель — однозначные числа. Сложите устно знаменатель с числителем и запишите сумму в числителе новой дроби, а числитель предыдущей дроби в знаменателе. Если сумма числителя и знаменателя получится больше 10, то надо вычесть из неё 9 и т. д.

Например, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, ... .

Через 3 мин сверьте ответы с товарищем. Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

Развивай внимание.

В задании описан алгоритм для последовательного создания дробей. Разберем его по шагам.

1. Начало: Выбираем любую дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются однозначными числами (от 1 до 9). Обозначим эту дробь как $\frac{a}{b}$.

2. Создание новой дроби: Чтобы получить следующую дробь в последовательности, нужно выполнить следующие действия:

• Новый числитель равен сумме числителя ($a$) и знаменателя ($b$) предыдущей дроби.
• Новый знаменатель равен числителю ($a$) предыдущей дроби.

Таким образом, из дроби $\frac{a}{b}$ получается дробь $\frac{a+b}{a}$.

3. Особое правило: Если сумма числителя и знаменателя ($a+b$) получается равной 10 или больше, то из этой суммы необходимо вычесть 9. Это гарантирует, что новый числитель также будет однозначным числом.

Проверим этот алгоритм на примере из задания: $\frac{1}{4}, \frac{5}{1}, \frac{6}{5}, \frac{2}{6}, \dots$

• Начинаем с $\frac{1}{4}$. Здесь $a=1, b=4$.
• Следующая дробь: числитель $1+4=5$, знаменатель $1$. Получаем $\frac{5}{1}$.
• Для дроби $\frac{5}{1}$: $a=5, b=1$. Числитель $5+1=6$, знаменатель $5$. Получаем $\frac{6}{5}$.
• Для дроби $\frac{6}{5}$: $a=6, b=5$. Сумма $6+5=11$. Так как $11 > 10$, применяем особое правило: новый числитель равен $11-9=2$. Знаменатель равен $6$. Получаем $\frac{2}{6}$.
• Для дроби $\frac{2}{6}$: $a=2, b=6$. Числитель $2+6=8$, знаменатель $2$. Получаем $\frac{8}{2}$.
• Для дроби $\frac{8}{2}$: $a=8, b=2$. Сумма $8+2=10$. Так как $10 \ge 10$, применяем правило: новый числитель равен $10-9=1$. Знаменатель равен $8$. Получаем $\frac{1}{8}$.

Алгоритм работает в точности так, как описано.

Ответ: Чтобы получить следующую дробь из дроби $\frac{a}{b}$, нужно числитель предыдущей дроби ($a$) поставить в знаменатель, а в числитель поставить сумму $a+b$. Если сумма $a+b \ge 10$, то в числитель ставится результат выражения $(a+b)-9$.

Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

Цель игры — составить как можно больше правильных дробей (тех, у которых числитель меньше знаменателя). Для примера сгенерируем последовательность, начав с дроби $\frac{2}{3}$, и выделим из нее все правильные дроби.

Начальная дробь: $\frac{2}{3}$

Полученная последовательность:

$\frac{2}{3} \rightarrow \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} \rightarrow \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{7}{5} \rightarrow \frac{(7+5)-9}{7} = \frac{12-9}{7} = \frac{3}{7}$

$\frac{3}{7} \rightarrow \frac{(3+7)-9}{3} = \frac{10-9}{3} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} \rightarrow \frac{1+3}{1} = \frac{4}{1}$

$\frac{4}{1} \rightarrow \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} \rightarrow \frac{5+4}{5} = \frac{9}{5}$

$\frac{9}{5} \rightarrow \frac{(9+5)-9}{9} = \frac{14-9}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{5}{9} \rightarrow \frac{(5+9)-9}{5} = \frac{14-9}{5} = \frac{5}{5}$

$\frac{5}{5} \rightarrow \frac{(5+5)-9}{5} = \frac{10-9}{5} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} \rightarrow \frac{1+5}{1} = \frac{6}{1}$

$\frac{6}{1} \rightarrow \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

$\frac{7}{6} \rightarrow \frac{(7+6)-9}{7} = \frac{13-9}{7} = \frac{4}{7}$

$\frac{4}{7} \rightarrow \frac{(4+7)-9}{4} = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4}$

$\frac{2}{4} \rightarrow \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2}$

Вся последовательность выглядит так: $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}, \frac{7}{5}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{4}{1}, \frac{5}{4}, \frac{9}{5}, \frac{5}{9}, \frac{5}{5}, \frac{1}{5}, \frac{6}{1}, \frac{7}{6}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}, \frac{6}{2}, \dots$

Теперь выберем из нее все правильные дроби (числитель < знаменателя):

$\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$

Ответ: Пример правильных дробей, полученных по заданному алгоритму, начиная с $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$.