Номер 5.508, страница 81, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

38. Нахождение части целого. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.508, страница 81.

5.508 Сколькими способами можно выбрать трёх участников марафона из 20 человек?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний, поскольку порядок выбора участников не имеет значения. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать группу из 3 человек из общего числа 20 человек.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашей задаче:
$n = 20$ (общее количество человек)
$k = 3$ (количество участников, которых необходимо выбрать)

Подставим эти значения в формулу:
$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!}$

Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы. Мы знаем, что $20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!$ и $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{6 \cdot 17!}$

Теперь мы можем сократить $17!$ в числителе и знаменателе:
$C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6}$

Проведем вычисления:
$C_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot \frac{18}{6} = 20 \cdot 19 \cdot 3 = 380 \cdot 3 = 1140$

Таким образом, существует 1140 различных способов выбрать трёх участников марафона из 20 человек.
Ответ: 1140.