Номер 1083, страница 97, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1083. На координатной плоскости отметьте точки $M(-2; -3)$, $N(2; 4)$; $K(-3; 4)$; $L(3; 1)$. Проведите отрезки $MN$ и $KL$. Запишите координаты точки их пересечения.

Для нахождения координат точки пересечения отрезков MN и KL необходимо сначала найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, а затем найти точку пересечения этих прямых. После этого нужно убедиться, что найденная точка принадлежит обоим отрезкам.

1. Нахождение уравнения прямой, содержащей отрезок MN

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек M(-2; -3) и N(2; 4):

$x_1 = -2, y_1 = -3$

$x_2 = 2, y_2 = 4$

$\frac{y - (-3)}{4 - (-3)} = \frac{x - (-2)}{2 - (-2)}$

$\frac{y + 3}{7} = \frac{x + 2}{4}$

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$4(y + 3) = 7(x + 2)$

$4y + 12 = 7x + 14$

$4y = 7x + 2$

$y = \frac{7}{4}x + \frac{1}{2}$

2. Нахождение уравнения прямой, содержащей отрезок KL

Применим ту же формулу для точек K(-3; 4) и L(3; 1):

$x_1 = -3, y_1 = 4$

$x_2 = 3, y_2 = 1$

$\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - (-3)}{3 - (-3)}$

$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x + 3}{6}$

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$6(y - 4) = -3(x + 3)$

$2(y - 4) = -(x + 3)$

$2y - 8 = -x - 3$

$2y = -x + 5$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

3. Нахождение координат точки пересечения

Чтобы найти точку пересечения, решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} y = \frac{7}{4}x + \frac{1}{2} \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{7}{4}x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$7x + 2 = -2x + 10$

Решим полученное линейное уравнение относительно $\text{x}$:

$7x + 2x = 10 - 2$

$9x = 8$

$x = \frac{8}{9}$

Теперь подставим найденное значение $\text{x}$ в любое из уравнений прямой, чтобы найти $\text{y}$. Используем второе уравнение:

$y = -\frac{1}{2}(\frac{8}{9}) + \frac{5}{2}$

$y = -\frac{8}{18} + \frac{5}{2}$

$y = -\frac{4}{9} + \frac{5}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$y = -\frac{4 \cdot 2}{18} + \frac{5 \cdot 9}{18}$

$y = \frac{-8 + 45}{18}$

$y = \frac{37}{18}$

Координаты точки пересечения — $(\frac{8}{9}; \frac{37}{18})$. Графическое построение подтверждает, что эта точка находится внутри обоих отрезков.

Ответ: $(\frac{8}{9}; \frac{37}{18})$.