Номер 1092, страница 98, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1092. Начертите отрезки $AB$ и $CD$, если $A(-1; 6)$; $B(4; -4)$ и $C(4; 5)$; $D(-4; -3)$. Найдите:

1) Координаты точки $\text{E}$ – пересечения отрезков $AB$ и $CD$.

2) Координаты точки $\text{L}$ – пересечения отрезка $AB$ с осью $Oy$.

3) Координаты точки $\text{K}$ – пересечения отрезка $CD$ с осью $Ox$.

1) Координаты точки E – пересечения отрезков AB и CD.

Для нахождения точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$ необходимо сначала составить уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Найдем уравнение прямой $AB$, проходящей через точки $A(-1; 6)$ и $B(4; -4)$.

$\frac{x - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{y - 6}{-4 - 6}$

$\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 6}{-10}$

Умножим обе части уравнения на $-10$:

$-2(x + 1) = y - 6$

$-2x - 2 = y - 6$

$y = -2x + 4$

Теперь найдем уравнение прямой $CD$, проходящей через точки $C(4; 5)$ и $D(-4; -3)$.

$\frac{x - 4}{-4 - 4} = \frac{y - 5}{-3 - 5}$

$\frac{x - 4}{-8} = \frac{y - 5}{-8}$

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю, числители также должны быть равны:

$x - 4 = y - 5$

$y = x + 1$

Для нахождения координат точки пересечения $\text{E}$ решим систему уравнений для прямых $AB$ и $CD$:

$ \begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$-2x + 4 = x + 1$

$3 = 3x$

$x = 1$

Подставим значение $x=1$ во второе уравнение:

$y = 1 + 1 = 2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $E(1; 2)$. Проверим, принадлежит ли эта точка отрезкам $AB$ и $CD$. Для этого ее координаты должны находиться между координатами концов отрезков.

Для отрезка $AB$: $x \in [-1; 4]$, $y \in [-4; 6]$. Координаты точки $E(1; 2)$ удовлетворяют этим условиям ($ -1 \le 1 \le 4$ и $-4 \le 2 \le 6$).

Для отрезка $CD$: $x \in [-4; 4]$, $y \in [-3; 5]$. Координаты точки $E(1; 2)$ удовлетворяют этим условиям ($-4 \le 1 \le 4$ и $-3 \le 2 \le 5$).

Следовательно, точка $E(1; 2)$ является точкой пересечения отрезков.

Ответ: $E(1; 2)$.

2) Координаты точки L – пересечения отрезка AB с осью Oy.

Пересечение с осью ординат ($Oy$) происходит в точке, где абсцисса $x=0$.

Подставим $x=0$ в уравнение прямой $AB$: $y = -2x + 4$.

$y = -2(0) + 4 = 4$

Координаты точки пересечения — $L(0; 4)$.

Проверим, принадлежит ли точка $L(0; 4)$ отрезку $AB$ с концами в $A(-1; 6)$ и $B(4; -4)$. Координаты точки должны лежать в диапазоне координат концов отрезка.

Для $\text{x}$: $-1 \le 0 \le 4$. Условие выполняется.

Для $\text{y}$: $-4 \le 4 \le 6$. Условие выполняется.

Следовательно, точка $\text{L}$ лежит на отрезке $AB$.

Ответ: $L(0; 4)$.

3) Координаты точки K – пересечения отрезка CD с осью Ox.

Пересечение с осью абсцисс ($Ox$) происходит в точке, где ордината $y=0$.

Подставим $y=0$ в уравнение прямой $CD$: $y = x + 1$.

$0 = x + 1$

$x = -1$

Координаты точки пересечения — $K(-1; 0)$.

Проверим, принадлежит ли точка $K(-1; 0)$ отрезку $CD$ с концами в $C(4; 5)$ и $D(-4; -3)$.

Для $\text{x}$: $-4 \le -1 \le 4$. Условие выполняется.

Для $\text{y}$: $-3 \le 0 \le 5$. Условие выполняется.

Следовательно, точка $\text{K}$ лежит на отрезке $CD$.

Ответ: $K(-1; 0)$.