Номер 1098, страница 99, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1098. Начертите лучи $AB$ и $CD$, если $A(-7; 6)$; $B(-3; 4)$ и $C(7; 6)$; $D(4; 4)$.

Найдите:

1) Координаты точки $\text{E}$ – пересечения лучей $AB$ и $CD$.

2) Координаты точки $\text{N}$ – пересечения луча $CD$ с осью абсцисс ($Ox$).

1) Координаты точки E – пересечения лучей AB и CD.

Чтобы найти точку пересечения лучей, сначала найдем уравнения прямых, содержащих эти лучи. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Найдем уравнение прямой для луча AB, проходящего через точки A(-7; 6) и B(-3; 4):

$\frac{x - (-7)}{-3 - (-7)} = \frac{y - 6}{4 - 6}$

$\frac{x + 7}{4} = \frac{y - 6}{-2}$

Перемножим крест-накрест: $-2(x + 7) = 4(y - 6)$

$-2x - 14 = 4y - 24$

$4y = -2x + 10$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ или $y = -0.5x + 2.5$.

Теперь найдем уравнение прямой для луча CD, проходящего через точки C(7; 6) и D(4; 4):

$\frac{x - 7}{4 - 7} = \frac{y - 6}{4 - 6}$

$\frac{x - 7}{-3} = \frac{y - 6}{-2}$

Перемножим крест-накрест: $-2(x - 7) = -3(y - 6)$

$-2x + 14 = -3y + 18$

$3y = 2x + 4$

$y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$.

Для нахождения координат точки пересечения E приравняем правые части полученных уравнений:

$-\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6:

$-3x + 15 = 4x + 8$

$15 - 8 = 4x + 3x$

$7 = 7x$

$x = 1$

Теперь найдем y, подставив значение x в любое из уравнений (например, в первое):

$y = -0.5 \cdot 1 + 2.5 = 2$.

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — E(1; 2).

Проверим, принадлежит ли точка E(1; 2) обоим лучам. Луч AB начинается в A(-7; 6) и идет в направлении точки B(-3; 4). Так как $x_E=1 > x_B=-3$, точка E лежит на луче AB. Луч CD начинается в C(7; 6) и идет в направлении точки D(4; 4). Так как $x_E=1 < x_D=4$, точка E лежит на луче CD. Следовательно, точка E является точкой пересечения лучей.

Ответ: E(1; 2).

2) Координаты точки N – пересечения луча CD с осью абсцисс (Ox).

Уравнение прямой, на которой лежит луч CD, уже найдено: $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$.

Ось абсцисс (Ox) — это прямая, все точки которой имеют ординату (y), равную нулю. То есть, ее уравнение $y = 0$.

Чтобы найти точку пересечения N, подставим $y=0$ в уравнение прямой CD:

$0 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

Умножим обе части на 3:

$0 = 2x + 4$

$2x = -4$

$x = -2$

Координаты точки пересечения N(-2; 0).

Проверим, принадлежит ли точка N лучу CD. Луч CD начинается в точке C(7; 6) и направлен в сторону точки D(4; 4), то есть абсцисса точек луча должна быть меньше или равна 7. Так как $x_N = -2 < 7$, точка N принадлежит прямой, содержащей луч. Более того, $x_N = -2 < x_D = 4$, что подтверждает, что точка N лежит на луче CD, а не на его дополнении.

Ответ: N(-2; 0).