Номер 1097, страница 98, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1097. Вершина $\text{E}$ квадрата $EFMN$ лежит в начале координат, а вершины $\text{F}$ и $\text{M}$ имеют координаты $F(0; 4)$, $M(4; 4)$. Найдите координаты вершины $\text{N}$. Вычислите площадь квадрата $EFMN$. Единичный отрезок равен $\text{1}$ см.

Найдите координаты вершины N

По условию, нам дан квадрат EFMN. Координаты вершин: E(0; 0), F(0; 4), M(4; 4). Вершины в названии квадрата перечисляются последовательно. В квадрате (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, представляющие противоположные стороны, равны. Например, вектор $\vec{EN}$ должен быть равен вектору $\vec{FM}$. Найдем координаты вектора $\vec{FM}$, зная координаты его начала F(0; 4) и конца M(4; 4): $\vec{FM} = (x_M - x_F; y_M - y_F) = (4 - 0; 4 - 4) = (4; 0)$. Пусть искомая вершина N имеет координаты $(x_N; y_N)$. Тогда вектор $\vec{EN}$, с началом в точке E(0; 0) и концом в точке N(x_N; y_N), имеет координаты: $\vec{EN} = (x_N - x_E; y_N - y_E) = (x_N - 0; y_N - 0) = (x_N; y_N)$. Так как $\vec{EN} = \vec{FM}$, то их соответствующие координаты равны: $x_N = 4$$y_N = 0$ Следовательно, координаты вершины N равны (4; 0).

Ответ: N(4; 0).

Вычислите площадь квадрата EFMN

Площадь квадрата S равна квадрату длины его стороны a: $S = a^2$. Найдем длину стороны квадрата, например, EF, по формуле расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Длина стороны EF с концами в точках E(0; 0) и F(0; 4) равна: $a = EF = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$. По условию, единичный отрезок равен 1 см, значит, длина стороны квадрата равна 4 см. Теперь вычислим площадь квадрата: $S = a^2 = 4^2 = 16$ (см²).

Ответ: 16 см².