Номер 1374, страница 180, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1374. Первое число кратно $\text{7}$, а второе число кратно $13$. Сумма этих двух чисел равна $61$. Найдите число, кратное $\text{7}$.

Пусть первое число, кратное 7, равно $\text{x}$, а второе число, кратное 13, равно $\text{y}$. Согласно условию, мы можем записать эти числа в следующем виде: $x = 7k$ и $y = 13m$, где $\text{k}$ и $\text{m}$ — некоторые натуральные числа.

Сумма этих двух чисел равна 61, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 61$

Подставим выражения для $\text{x}$ и $\text{y}$ в это уравнение: $7k + 13m = 61$

Мы получили линейное диофантово уравнение с двумя переменными. Нам нужно найти его решение в натуральных числах. Для этого можно использовать метод перебора. Поскольку коэффициенты и свободный член невелики, это будет эффективно. Выразим $13m$ из уравнения: $13m = 61 - 7k$. Так как $\text{m}$ — натуральное число, $m \ge 1$, то $13m \ge 13$. Следовательно, $61 - 7k \ge 13$, что означает $7k \le 48$, и $k \le \frac{48}{7} \approx 6.85$. Также $\text{k}$ должно быть натуральным, $k \ge 1$. Итак, возможные значения для $\text{k}$: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Проверим каждое из этих значений для $\text{k}$:

При $k=1$: $61 - 7(1) = 54$. 54 не делится на 13.

При $k=2$: $61 - 7(2) = 47$. 47 не делится на 13.

При $k=3$: $61 - 7(3) = 40$. 40 не делится на 13.

При $k=4$: $61 - 7(4) = 33$. 33 не делится на 13.

При $k=5$: $61 - 7(5) = 26$. $26$ делится на 13, $m = \frac{26}{13} = 2$. Это решение в натуральных числах: $k=5$, $m=2$.

При $k=6$: $61 - 7(6) = 19$. 19 не делится на 13.

Таким образом, мы нашли единственную пару натуральных чисел $k=5$ и $m=2$, удовлетворяющую уравнению. Теперь найдем искомые числа. Первое число (кратное 7): $x = 7k = 7 \cdot 5 = 35$. Второе число (кратное 13): $y = 13m = 13 \cdot 2 = 26$. Проверим сумму: $35 + 26 = 61$. Условие выполняется.

Задача требует найти число, кратное 7. Это число $\text{x}$.

Ответ: 35