Номер 1380, страница 181, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1380. Клумба квадратной формы засажена цветами. $73$ тюльпана посажены симметрично относительно диагоналей этого квадрата. Какое наименьшее количество тюльпанов было высажено на пересечении диагоналей квадрата?

Пусть общее количество тюльпанов равно 73. Расположение тюльпанов симметрично относительно обеих диагоналей квадрата. Это накладывает определенные ограничения на количество тюльпанов в разных частях клумбы.

Все тюльпаны можно разделить на три группы в зависимости от их расположения:

• тюльпаны, находящиеся в точке пересечения диагоналей (в центре);
• тюльпаны, находящиеся на диагоналях, но не в центре;
• тюльпаны, находящиеся вне диагоналей.

Обозначим количество тюльпанов в центре через $\text{c}$. Точка центра симметрична сама себе относительно обеих диагоналей, поэтому на $\text{c}$ нет ограничений по четности. $\text{c}$ является целым неотрицательным числом.

Рассмотрим тюльпаны, расположенные не на диагоналях. Если тюльпан находится в точке $\text{A}$, не лежащей на диагоналях, то из-за симметрии относительно первой диагонали должен быть тюльпан в симметричной точке $A_1$. Из-за симметрии относительно второй диагонали должен быть тюльпан в точке $A_2$. Чтобы вся композиция была симметрична, должен быть и четвертый тюльпан в точке $A_3$, симметричной $A_1$ относительно второй диагонали (или $A_2$ относительно первой). Эти 4 тюльпана образуют симметричную группу. Таким образом, все тюльпаны, не лежащие на диагоналях, объединяются в группы по 4. Их общее количество, обозначим его $\text{f}$, должно быть кратно 4. То есть $f=4k$ для некоторого целого $k \ge 0$.

Теперь рассмотрим тюльпаны на диагоналях, но не в центре. Если тюльпан находится в точке $\text{B}$ на одной диагонали, то для симметрии относительно другой диагонали должен существовать тюльпан в симметричной точке $B'$, которая лежит на той же диагонали, но по другую сторону от центра. Таким образом, такие тюльпаны объединяются в пары. Следовательно, их общее количество, обозначим его $\text{d}$, должно быть четным. То есть $d=2m$ для некоторого целого $m \ge 0$.

Общее число тюльпанов составляет 73, поэтому мы можем записать уравнение:

$c + d + f = 73$

Подставляя выражения для $\text{d}$ и $\text{f}$, получаем:

$c + 2m + 4k = 73$

Выразим $\text{c}$:

$c = 73 - 2m - 4k = 73 - 2(m + 2k)$

Из этого уравнения видно, что $\text{c}$ получается вычитанием четного числа $2(m+2k)$ из нечетного числа 73. Результат такого вычитания всегда является нечетным числом. Значит, количество тюльпанов в центре $\text{c}$ должно быть нечетным.

Мы ищем наименьшее возможное количество тюльпанов в центре. Так как $\text{c}$ должно быть неотрицательным целым и нечетным числом, наименьшее возможное значение для $\text{c}$ — это 1.

Проверим, достижимо ли значение $c=1$. Подставим его в уравнение:

$1 + 2m + 4k = 73$

$2m + 4k = 72$

$m + 2k = 36$

Это уравнение имеет решения в целых неотрицательных числах. Например, можно взять $k=0$, тогда $m=36$. Это соответствует посадке 1 тюльпана в центре и $d = 2 \times 36 = 72$ тюльпанов на диагоналях (36 симметричных пар). Или можно взять $m=0$, тогда $2k=36$, то есть $k=18$. Это соответствует посадке 1 тюльпана в центре и $f = 4 \times 18 = 72$ тюльпанов вне диагоналей (18 симметричных групп по 4). Поскольку существует хотя бы одна возможная конфигурация, при которой в центре растет 1 тюльпан, то 1 и является наименьшим возможным количеством.

Ответ: 1.