Номер 1403, страница 188, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1403. Приведите уравнение с двумя переменными к виду $ax + by + c = 0$ и постройте его график:

1)

$-9x + 2y - 20 = -13x + 7y;$

2)

$2(x + 2y) - 3 = 3(x + y) + 1;$

3)

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1.$

1)Приведем уравнение $-9x + 2y - 20 = -13x + 7y$ к виду $ax + by + c = 0$.

Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$-9x + 2y - 20 + 13x - 7y = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-9x + 13x) + (2y - 7y) - 20 = 0$

$4x - 5y - 20 = 0$

Получили линейное уравнение. Его график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух любых точек этой прямой. Удобно взять точки пересечения с осями координат.

При $x = 0$:

$4 \cdot 0 - 5y - 20 = 0$

$-5y = 20$

$y = -4$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$.

При $y = 0$:

$4x - 5 \cdot 0 - 20 = 0$

$4x = 20$

$x = 5$

Точка пересечения с осью Ox: $(5, 0)$.

График уравнения — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, -4)$ и $(5, 0)$.

Ответ: $4x - 5y - 20 = 0$. Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(5, 0)$.

2)Приведем уравнение $2(x + 2y) - 3 = 3(x + y) + 1$ к виду $ax + by + c = 0$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x + 4y - 3 = 3x + 3y + 1$

Теперь перенесем все слагаемые из правой части в левую:

$2x + 4y - 3 - 3x - 3y - 1 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x - 3x) + (4y - 3y) + (-3 - 1) = 0$

$-x + y - 4 = 0$

Для удобства можно умножить все уравнение на $-1$:

$x - y + 4 = 0$

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Найдем две точки для ее построения.

При $x = 0$:

$0 - y + 4 = 0$

$-y = -4$

$y = 4$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

При $y = 0$:

$x - 0 + 4 = 0$

$x = -4$

Точка пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$.

График уравнения — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0, 4)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: $x - y + 4 = 0$ (или $-x + y - 4 = 0$). Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(-4, 0)$.

3)Приведем уравнение $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ к виду $ax + by + c = 0$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей $\text{4}$ и $\text{3}$, то есть на $12$:

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{3}) = 12 \cdot 1$

$12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{y}{3} = 12$

$3x + 4y = 12$

Перенесем свободный член в левую часть:

$3x + 4y - 12 = 0$

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для ее построения найдем точки пересечения с осями координат. Это можно сделать из исходного уравнения в отрезках $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ - отрезки, отсекаемые на осях Ox и Oy соответственно.

Из уравнения $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ видно, что прямая пересекает ось Ox в точке $x=4$ и ось Oy в точке $y=3$.

Таким образом, мы имеем две точки:

Точка пересечения с осью Ox: $(4, 0)$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

График уравнения — это прямая, проходящая через точки с координатами $(4, 0)$ и $(0, 3)$.

Ответ: $3x + 4y - 12 = 0$. Графиком является прямая, проходящая через точки $(4, 0)$ и $(0, 3)$.