Номер 1404, страница 188, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1404. На одной координатной плоскости $Oxy$ постройте графики уравнений $2x + y = 6$ и $-x + y = 3$. Найдите координаты точки пересечения их графиков.

Задача состоит из двух частей: построение графиков двух линейных уравнений и нахождение координат их точки пересечения.

Построение графиков

Для построения графика каждого линейного уравнения, мы представим его в виде $y = kx + b$ и найдем две точки, через которые проходит прямая.

1. Первое уравнение: $2x + y = 6$.

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y = -2x + 6$.

Это уравнение прямой. Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

- Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 6 = 6$. Первая точка — $(0; 6)$.

- Если $y = 0$, то $0 = -2x + 6$, откуда $2x = 6$ и $x = 3$. Вторая точка — $(3; 0)$.

Таким образом, первый график — это прямая, проходящая через точки $(0; 6)$ и $(3; 0)$.

2. Второе уравнение: $-x + y = 3$.

Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$:

$y = x + 3$.

Это также уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

- Если $x = 0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Первая точка — $(0; 3)$.

- Если $y = 0$, то $0 = x + 3$, откуда $x = -3$. Вторая точка — $(-3; 0)$.

Таким образом, второй график — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(-3; 0)$.

На одной координатной плоскости строим обе прямые по найденным точкам.

Нахождение координат точки пересечения

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, которые описывают эти прямые:

$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ -x + y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод подстановки. Из второго уравнения выразим $\text{y}$:

$y = x + 3$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение вместо $\text{y}$:

$2x + (x + 3) = 6$.

Решим полученное уравнение для $\text{x}$:

$3x + 3 = 6$

$3x = 6 - 3$

$3x = 3$

$x = 1$.

Теперь, когда мы нашли $\text{x}$, подставим его значение в любое из исходных уравнений или в выражение для $\text{y}$, чтобы найти $\text{y}$. Используем $y = x + 3$:

$y = 1 + 3 = 4$.

Следовательно, графики пересекаются в точке с координатами $(1; 4)$.

Ответ: Координаты точки пересечения графиков — $(1; 4)$.