Номер 2, страница 190, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Что значит решить систему линейных уравнений?

Решить систему линейных уравнений — это значит найти множество всех ее решений или доказать, что решений не существует.

Что такое решение системы?

Рассмотрим общую систему из $\text{m}$ линейных уравнений с $\text{n}$ неизвестными $x_1, x_2, \ldots, x_n$: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$ где $a_{ij}$ — это коэффициенты при неизвестных, а $b_i$ — свободные члены.

Решением такой системы называется упорядоченный набор чисел (вектор) $(c_1, c_2, \ldots, c_n)$, при подстановке которого вместо переменных $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

Например, для системы: $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $$ решением является пара чисел $(1, 2)$, так как при подстановке $x=1$ и $y=2$ оба равенства становятся верными: $$ \begin{cases} 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \\ 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1 \end{cases} $$ Пара чисел $(3, 1)$ не является решением, так как удовлетворяет только первому уравнению ($3+2 \cdot 1 = 5$), но не второму ($3 \cdot 3 - 1 = 8 \neq 1$).

Какие могут быть исходы решения?

При решении системы линейных уравнений возможны только три ситуации:

1. Система имеет единственное решение. Это означает, что существует только один уникальный набор значений переменных, удовлетворяющий всем уравнениям. Такая система называется совместной и определенной.

   Пример: Система $\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}$ имеет единственное решение $(2, 1)$. Геометрически это означает, что две прямые на плоскости пересекаются в одной точке.

2. Система имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда уравнения в системе зависимы друг от друга (например, одно является следствием другого). Такая система называется совместной и неопределенной. В этом случае решение записывается в общем виде через одну или несколько свободных переменных.

   Пример: Система $\begin{cases} x+y=2 \\ 2x+2y=4 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений. Второе уравнение — это первое, умноженное на 2. Все решения можно описать формулой $(c, 2-c)$, где $\text{c}$ — любое действительное число. Геометрически это означает, что две прямые совпадают.

3. Система не имеет решений. Это происходит, когда уравнения противоречат друг другу. Такая система называется несовместной.

   Пример: Система $\begin{cases} x+y=1 \\ x+y=5 \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует таких чисел $\text{x}$ и $\text{y}$, сумма которых одновременно равна 1 и 5. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не пересекаются.

Таким образом, процесс решения системы заключается в том, чтобы, используя различные методы (метод подстановки, метод Гаусса, метод Крамера и др.), определить, к какому из трех вышеописанных случаев относится система, и, если решения существуют, найти их все в явном или общем виде.

Ответ: Решить систему линейных уравнений — это найти все наборы значений неизвестных, которые одновременно удовлетворяют каждому из уравнений системы, либо установить, что таких наборов не существует.