Номер 1419, страница 192, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1419. Выберите соответствующее решение системы:

A. $(8; 6)$; B. $(4; 3)$; C. $(5; -2)$; D. $(6; 2)$.

1) $\begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1, \\ \frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}y = 1,5, \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}y = 3, \\ \frac{5}{8}x - \frac{2}{3}y = 1. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 1 \\ \frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y = 3 \end{cases} $. Чтобы избавиться от дробей, можно умножить первое уравнение на 6, а второе на 12, но можно поступить проще. Умножим первое уравнение на 2: $2 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y) = 2 \cdot 1$, что дает $x - \frac{2}{3}y = 2$. Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x - \frac{2}{3}y = 2 \\ \frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y = 3 \end{cases} $. Сложим эти два уравнения: $(x - \frac{2}{3}y) + (\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}y) = 2 + 3$. Получаем $x + \frac{1}{4}x = 5$, или $\frac{5}{4}x = 5$. Отсюда $x = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$. Подставим $x=4$ в первое исходное уравнение: $\frac{1}{2}(4) - \frac{1}{3}y = 1 \implies 2 - \frac{1}{3}y = 1 \implies -\frac{1}{3}y = -1 \implies y = 3$. Решением является пара чисел $(4; 3)$, что соответствует варианту B. Ответ: B. (4; 3)

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}y = 1,5 \\ \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = 5 \end{cases} $. Запишем 1,5 как $\frac{3}{2}$. Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное 6, 4, 2), а второе на 6 (наименьшее общее кратное 3, 2). Получаем систему: $ \begin{cases} 12(\frac{1}{6}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot \frac{3}{2} \\ 6(\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y) = 6 \cdot 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + 3y = 18 \\ 4x + 3y = 30 \end{cases} $. Вычтем из второго уравнения первое: $(4x + 3y) - (2x + 3y) = 30 - 18$, что дает $2x = 12$, откуда $x = 6$. Подставим $x=6$ в уравнение $2x + 3y = 18$: $2(6) + 3y = 18 \implies 12 + 3y = 18 \implies 3y = 6 \implies y = 2$. Таким образом, решение системы - $(6; 2)$, что соответствует варианту D. Ответ: D. (6; 2)

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}y = 3 \\ \frac{5}{8}x - \frac{2}{3}y = 1 \end{cases} $. Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 4, а второе на 24 (наименьшее общее кратное 8 и 3). Получаем систему: $ \begin{cases} 4(\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}y) = 4 \cdot 3 \\ 24(\frac{5}{8}x - \frac{2}{3}y) = 24 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ 15x - 16y = 24 \end{cases} $. Умножим первое уравнение на 8, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали равны по модулю: $8(3x - 2y) = 8 \cdot 12 \implies 24x - 16y = 96$. Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 24x - 16y = 96 \\ 15x - 16y = 24 \end{cases} $. Вычтем из первого уравнения второе: $(24x - 16y) - (15x - 16y) = 96 - 24$, что дает $9x = 72$, откуда $x = 8$. Подставим $x=8$ в уравнение $3x - 2y = 12$: $3(8) - 2y = 12 \implies 24 - 2y = 12 \implies -2y = -12 \implies y = 6$. Таким образом, решение системы - $(8; 6)$, что соответствует варианту A. Ответ: A. (8; 6)