Номер 1431, страница 196, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Составьте систему уравнений и решите ее способом подстановки (1428–1436).

1431.

Периметр прямоугольника равен 40 см. Если его длину уменьшить на 20%, а ширину увеличить на 20%, то периметр будет равен 36 см. Найдите первоначальную длину и ширину прямоугольника.

1431. Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $\text{x}$ см, а первоначальная ширина — $\text{y}$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ — его стороны.

Согласно первому условию, первоначальный периметр равен 40 см. Составим первое уравнение:

$2(x + y) = 40$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$x + y = 20$

Далее, согласно второму условию, длину уменьшили на 20%, а ширину увеличили на 20%.

Новая длина составит $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной, то есть $x - 0.2x = 0.8x$ см.

Новая ширина составит $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, то есть $y + 0.2y = 1.2y$ см.

Новый периметр равен 36 см. Составим второе уравнение на основе новых размеров:

$2(0.8x + 1.2y) = 36$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$0.8x + 1.2y = 18$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 20 \\ 0.8x + 1.2y = 18 \end{cases} $

Решим эту систему способом подстановки, как требуется в условии.

Из первого уравнения выразим переменную $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = 20 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.8(20 - y) + 1.2y = 18$

Раскроем скобки:

$16 - 0.8y + 1.2y = 18$

Приведем подобные слагаемые:

$0.4y = 18 - 16$

$0.4y = 2$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{2}{0.4} = \frac{20}{4} = 5$

Итак, первоначальная ширина прямоугольника равна 5 см.

Теперь найдем первоначальную длину, подставив найденное значение $\text{y}$ в выражение для $\text{x}$:

$x = 20 - y$

$x = 20 - 5$

$x = 15$

Следовательно, первоначальная длина прямоугольника равна 15 см.

Ответ: первоначальная длина прямоугольника — 15 см, первоначальная ширина — 5 см.