Номер 1438, страница 197, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы уравнений способом подстановки (1438–1440).

1438.

1) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} - 1 = 0, \\ \frac{x}{5} - \frac{y}{4} + 1 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{y}{2} - 5 = 0, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 4 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} + 3 = 0, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{5} - 5 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{3} + 0,6 = 0, \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{6} - 1 = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} - 1 = 0 \\ \frac{x}{5} - \frac{y}{4} + 1 = 0 \end{cases} $

Для начала избавимся от дробей в каждом уравнении. Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3), а второе на 20 (наименьшее общее кратное 5 и 4).

$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - 1) = 6 \cdot 0 \\ 20 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{y}{4} + 1) = 20 \cdot 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 2y - 6 = 0 \\ 4x - 5y + 20 = 0 \end{cases} $

Перепишем систему в стандартном виде: $ \begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ 4x - 5y = -20 \end{cases} $

Выразим переменную $\text{x}$ из первого уравнения: $3x = 6 + 2y \implies x = \frac{6 + 2y}{3}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $4 \cdot \left(\frac{6 + 2y}{3}\right) - 5y = -20$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя: $4(6 + 2y) - 3 \cdot 5y = 3 \cdot (-20)$

$24 + 8y - 15y = -60$

$24 - 7y = -60$

$-7y = -60 - 24 \implies -7y = -84 \implies y = 12$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив значение $y=12$ в выражение для $\text{x}$: $x = \frac{6 + 2 \cdot 12}{3} = \frac{6 + 24}{3} = \frac{30}{3} = 10$

Ответ: (10; 12)

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} + 3 = 0 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{5} - 5 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения, умножив первое на 6, а второе на 10: $ \begin{cases} 2x - 3y + 18 = 0 \\ 5x + 2y - 50 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - 3y = -18 \\ 5x + 2y = 50 \end{cases} $

Выразим $\text{x}$ из первого уравнения: $2x = 3y - 18 \implies x = \frac{3y - 18}{2}$

Подставим полученное выражение для $\text{x}$ во второе уравнение: $5 \cdot \left(\frac{3y - 18}{2}\right) + 2y = 50$

Умножим обе части уравнения на 2: $5(3y - 18) + 4y = 100$

$15y - 90 + 4y = 100$

$19y = 190 \implies y = 10$

Найдем $\text{x}$: $x = \frac{3 \cdot 10 - 18}{2} = \frac{30 - 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: (6; 10)

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{y}{2} - 5 = 0 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} - 4 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения, умножив первое на 6, а второе на 12: $ \begin{cases} x + 3y - 30 = 0 \\ 4x + 3y - 48 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3y = 30 \\ 4x + 3y = 48 \end{cases} $

Выразим $\text{x}$ из первого уравнения: $x = 30 - 3y$

Подставим это выражение во второе уравнение: $4(30 - 3y) + 3y = 48$

$120 - 12y + 3y = 48$

$120 - 9y = 48$

$-9y = 48 - 120 \implies -9y = -72 \implies y = 8$

Найдем $\text{x}$: $x = 30 - 3 \cdot 8 = 30 - 24 = 6$

Ответ: (6; 8)

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{3} + 0,6 = 0 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{6} - 1 = 0 \end{cases} $

Заменим $0,6$ на дробь $\frac{3}{5}$ и упростим уравнения, умножив первое на 15, а второе на 12: $ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{y}{3} + \frac{3}{5} = 0 & |\cdot 15 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{6} - 1 = 0 & |\cdot 12 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 5y + 9 = 0 \\ 3x + 2y - 12 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x - 5y = -9 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases} $

Выразим $3x$ из второго уравнения: $3x = 12 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение: $(12 - 2y) - 5y = -9$

$12 - 7y = -9$

$-7y = -9 - 12 \implies -7y = -21 \implies y = 3$

Найдем $\text{x}$, используя выражение для $3x$: $3x = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6 \implies x = 2$

Ответ: (2; 3)