Номер 1439, страница 197, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы уравнений способом подстановки (1438–1440).

1439.

1)

$\begin{cases} \frac{x}{10} - \frac{y}{5} = 0, \\ \frac{5x}{3} + \frac{y}{6} - 7 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{8} - 2 = 0, \\ \frac{2x}{9} + \frac{y}{6} - 1 = 0; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{6x}{7} + \frac{5y}{21} - 5 = 0, \\ \frac{9x}{4} - \frac{y}{12} - 11 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{y}{9} - 4 = 0, \\ \frac{8x}{5} - \frac{y}{30} - 3 = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{10} - \frac{y}{5} = 0 \\ \frac{5x}{3} + \frac{y}{6} - 7 = 0 \end{cases} $

Для начала избавимся от дробей в каждом уравнении, умножив их на наименьшее общее кратное знаменателей. Умножим первое уравнение на 10, а второе на 6.

Первое уравнение: $10 \cdot (\frac{x}{10} - \frac{y}{5}) = 10 \cdot 0 \implies x - 2y = 0$.

Второе уравнение: $6 \cdot (\frac{5x}{3} + \frac{y}{6} - 7) = 6 \cdot 0 \implies 2 \cdot 5x + y - 42 = 0 \implies 10x + y - 42 = 0$.

Получаем равносильную систему:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ 10x + y = 42 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{x}$ через $\text{y}$: $x = 2y$.

Подставим это выражение для $\text{x}$ во второе уравнение:

$10(2y) + y = 42$

$20y + y = 42$

$21y = 42$

$y = \frac{42}{21} = 2$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив найденное значение $\text{y}$:

$x = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: $(4; 2)$

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{y}{8} - 2 = 0 \\ \frac{2x}{9} + \frac{y}{6} - 1 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения, умножив их на наименьшее общее кратное знаменателей. Первое уравнение умножим на 8, второе — на 18.

Первое уравнение: $8 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{y}{8} - 2) = 8 \cdot 0 \implies 2x + y - 16 = 0$.

Второе уравнение: $18 \cdot (\frac{2x}{9} + \frac{y}{6} - 1) = 18 \cdot 0 \implies 2 \cdot 2x + 3y - 18 = 0 \implies 4x + 3y - 18 = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 2x + y - 16 = 0 \\ 4x + 3y - 18 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{y}$ через $\text{x}$: $y = 16 - 2x$.

Подставим это выражение для $\text{y}$ во второе уравнение:

$4x + 3(16 - 2x) - 18 = 0$

$4x + 48 - 6x - 18 = 0$

$-2x + 30 = 0$

$2x = 30$

$x = 15$

Теперь найдем $\text{y}$, подставив найденное значение $\text{x}$:

$y = 16 - 2 \cdot 15 = 16 - 30 = -14$

Ответ: $(15; -14)$

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{6x}{7} + \frac{5y}{21} - 5 = 0 \\ \frac{9x}{4} - \frac{y}{12} - 11 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения, избавившись от дробей. Первое уравнение умножим на 21, второе — на 12.

Первое уравнение: $21 \cdot (\frac{6x}{7} + \frac{5y}{21} - 5) = 21 \cdot 0 \implies 3 \cdot 6x + 5y - 105 = 0 \implies 18x + 5y - 105 = 0$.

Второе уравнение: $12 \cdot (\frac{9x}{4} - \frac{y}{12} - 11) = 12 \cdot 0 \implies 3 \cdot 9x - y - 132 = 0 \implies 27x - y - 132 = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 18x + 5y = 105 \\ 27x - y = 132 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{y}$ через $\text{x}$: $y = 27x - 132$.

Подставим это выражение для $\text{y}$ в первое уравнение:

$18x + 5(27x - 132) = 105$

$18x + 135x - 660 = 105$

$153x = 105 + 660$

$153x = 765$

$x = \frac{765}{153} = 5$

Теперь найдем $\text{y}$, подставив найденное значение $\text{x}$:

$y = 27 \cdot 5 - 132 = 135 - 132 = 3$

Ответ: $(5; 3)$

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{7x}{3} - \frac{y}{9} - 4 = 0 \\ \frac{8x}{5} - \frac{y}{30} - 3 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения, умножив их на наименьшее общее кратное знаменателей. Первое уравнение умножим на 9, второе — на 30.

Первое уравнение: $9 \cdot (\frac{7x}{3} - \frac{y}{9} - 4) = 9 \cdot 0 \implies 3 \cdot 7x - y - 36 = 0 \implies 21x - y - 36 = 0$.

Второе уравнение: $30 \cdot (\frac{8x}{5} - \frac{y}{30} - 3) = 30 \cdot 0 \implies 6 \cdot 8x - y - 90 = 0 \implies 48x - y - 90 = 0$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} 21x - y = 36 \\ 48x - y = 90 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{y}$ через $\text{x}$: $y = 21x - 36$.

Подставим это выражение для $\text{y}$ во второе уравнение:

$48x - (21x - 36) = 90$

$48x - 21x + 36 = 90$

$27x = 90 - 36$

$27x = 54$

$x = \frac{54}{27} = 2$

Теперь найдем $\text{y}$, подставив найденное значение $\text{x}$:

$y = 21 \cdot 2 - 36 = 42 - 36 = 6$

Ответ: $(2; 6)$