Номер 1450, страница 199, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы уравнений способом подстановки (1450, 1451).

1450.

1) $\begin{cases} \frac{2x+1}{3} - \frac{x-2y}{5} = \frac{4(2x+y)}{15}, \\ \frac{x-4y}{3} + \frac{5x-11y}{6} = \frac{3x-1}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{7x+y}{3} - \frac{5x-y}{2} = \frac{x+y}{6}, \\ \frac{9x-2y}{8} + \frac{7x+4y}{6} = \frac{x+y}{3} + 4. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{3} - \frac{x-2y}{5} = \frac{4(2x+y)}{15} \\ \frac{x-4y}{3} + \frac{5x-11y}{6} = \frac{3x-1}{4} \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Для первого уравнения найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 5 и 15, которое равно 15. Умножим обе части уравнения на 15:

$15 \cdot \frac{2x+1}{3} - 15 \cdot \frac{x-2y}{5} = 15 \cdot \frac{4(2x+y)}{15}$

$5(2x+1) - 3(x-2y) = 4(2x+y)$

Раскроем скобки:

$10x + 5 - 3x + 6y = 8x + 4y$

Приведем подобные слагаемые:

$7x + 6y + 5 = 8x + 4y$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$5 = 8x - 7x + 4y - 6y$

$x - 2y = 5$

Из этого уравнения удобно выразить $\text{x}$ через $\text{y}$ для последующей подстановки:

$x = 2y + 5$

Теперь упростим второе уравнение. Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 6 и 4 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{x-4y}{3} + 12 \cdot \frac{5x-11y}{6} = 12 \cdot \frac{3x-1}{4}$

$4(x-4y) + 2(5x-11y) = 3(3x-1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 16y + 10x - 22y = 9x - 3$

$14x - 38y = 9x - 3$

$14x - 9x - 38y = -3$

$5x - 38y = -3$

В результате мы получили упрощенную систему уравнений:

$\begin{cases} x = 2y + 5 \\ 5x - 38y = -3 \end{cases}$

Решим ее методом подстановки. Подставим выражение для $\text{x}$ из первого уравнения во второе:

$5(2y + 5) - 38y = -3$

$10y + 25 - 38y = -3$

$-28y = -3 - 25$

$-28y = -28$

$y = 1$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив значение $y=1$ в выражение $x = 2y + 5$:

$x = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7$

Ответ: $(7; 1)$

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{7x+y}{3} - \frac{5x-y}{2} = \frac{x+y}{6} \\ \frac{9x-2y}{8} + \frac{7x+4y}{6} = \frac{x+y}{3} + 4 \end{cases}$

Упростим первое уравнение. Наименьший общий знаменатель 3, 2 и 6 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{7x+y}{3} - 6 \cdot \frac{5x-y}{2} = 6 \cdot \frac{x+y}{6}$

$2(7x+y) - 3(5x-y) = x+y$

$14x + 2y - 15x + 3y = x+y$

$-x + 5y = x+y$

Сгруппируем переменные:

$5y - y = x + x$

$4y = 2x$

Выразим $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = 2y$

Теперь упростим второе уравнение. Наименьший общий знаменатель 8, 6 и 3 равен 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$24 \cdot \frac{9x-2y}{8} + 24 \cdot \frac{7x+4y}{6} = 24 \cdot \frac{x+y}{3} + 24 \cdot 4$

$3(9x-2y) + 4(7x+4y) = 8(x+y) + 96$

$27x - 6y + 28x + 16y = 8x + 8y + 96$

$55x + 10y = 8x + 8y + 96$

Сгруппируем переменные:

$55x - 8x + 10y - 8y = 96$

$47x + 2y = 96$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} x = 2y \\ 47x + 2y = 96 \end{cases}$

Подставим выражение для $\text{x}$ из первого уравнения во второе:

$47(2y) + 2y = 96$

$94y + 2y = 96$

$96y = 96$

$y = 1$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив $y=1$ в выражение $x=2y$:

$x = 2(1) = 2$

Ответ: $(2; 1)$