Номер 1455, страница 200, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Составьте систему уравнений и решите ее способом подстановки (1452–1458).

1455. Из одного пункта в противоположных направлениях выехали два поезда. Если они будут ехать $3,2$ ч, то расстояние между ними будет $480$ км. Если первый поезд выедет на $1,4$ ч раньше второго, то после этого между ними через $\text{2}$ ч расстояние будет $412$ км. Найдите скорость каждого поезда.

1455. Пусть скорость первого поезда равна $v_1$ км/ч, а скорость второго поезда — $v_2$ км/ч.

Из первого условия, два поезда выехали из одного пункта в противоположных направлениях и ехали 3,2 часа. Расстояние между ними стало 480 км. Поскольку поезда движутся в противоположных направлениях, их скорость удаления равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. Расстояние равно скорости, умноженной на время. Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 3.2 = 480$

Из второго условия, первый поезд выехал на 1,4 часа раньше второго. Расстояние между ними измерялось через 2 часа после выезда второго поезда. Это означает, что к моменту измерения расстояния первый поезд был в пути $1.4 + 2 = 3.4$ часа, а второй поезд — 2 часа. Общее расстояние между ними, равное 412 км, складывается из расстояний, пройденных каждым поездом. Составим второе уравнение:

$v_1 \cdot 3.4 + v_2 \cdot 2 = 412$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 3.2(v_1 + v_2) = 480 \\ 3.4v_1 + 2v_2 = 412 \end{cases}$

Для решения системы способом подстановки, сначала упростим первое уравнение, разделив обе части на 3,2:

$v_1 + v_2 = \frac{480}{3.2}$

$v_1 + v_2 = 150$

Теперь выразим $v_1$ через $v_2$ из упрощенного первого уравнения:

$v_1 = 150 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3.4(150 - v_2) + 2v_2 = 412$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_2$:

$3.4 \cdot 150 - 3.4v_2 + 2v_2 = 412$

$510 - 1.4v_2 = 412$

$510 - 412 = 1.4v_2$

$98 = 1.4v_2$

$v_2 = \frac{98}{1.4}$

$v_2 = 70$

Итак, скорость второго поезда составляет 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого поезда, подставив найденное значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = 150 - 70$

$v_1 = 80$

Скорость первого поезда составляет 80 км/ч.

Ответ: скорость первого поезда — 80 км/ч, скорость второго поезда — 70 км/ч.