Номер 2, страница 203, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Как решить систему уравнений способом сложения, если только у одной переменной коэффициенты в обоих уравнениях равны?

Способ сложения, или, как его еще называют, метод алгебраического сложения, заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных. Если у одной из переменных в обоих уравнениях коэффициенты равны, то для исключения этой переменной нужно вычесть одно уравнение из другого.

Рассмотрим алгоритм действий на примере.

Решение

Пусть дана система уравнений, в которой коэффициенты при переменной $\text{y}$ равны:

$\begin{cases} a_1x + by = c_1 \\ a_2x + by = c_2 \end{cases}$

1. Вычитание уравнений. Чтобы исключить переменную $\text{y}$, вычтем второе уравнение из первого (или наоборот, результат будет тот же с точностью до знака).

   $(a_1x + by) - (a_2x + by) = c_1 - c_2$

   Раскрываем скобки:

   $a_1x + by - a_2x - by = c_1 - c_2$

   Члены $by$ и $-by$ взаимно уничтожаются, и мы получаем уравнение с одной переменной $\text{x}$:

   $(a_1 - a_2)x = c_1 - c_2$

2. Нахождение одной переменной. Решаем полученное простое уравнение относительно $\text{x}$:

   $x = \frac{c_1 - c_2}{a_1 - a_2}$

3. Нахождение второй переменной. Подставляем найденное значение $\text{x}$ в любое из исходных уравнений системы (например, в первое) и решаем его относительно $\text{y}$.

   $a_1 \cdot \left(\frac{c_1 - c_2}{a_1 - a_2}\right) + by = c_1$

   Отсюда находим значение $\text{y}$.

4. Запись ответа. Записываем пару найденных значений $(x, y)$.

Пример:

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 5x + 3y = 11 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$

Коэффициенты при переменной $\text{y}$ в обоих уравнениях равны $\text{3}$. Чтобы исключить $\text{y}$, вычтем второе уравнение из первого:

$(5x + 3y) - (2x + 3y) = 11 - 8$

$5x - 2x = 3$

$3x = 3$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$2(1) + 3y = 8$

$2 + 3y = 8$

$3y = 8 - 2$

$3y = 6$

$y = 2$

Решением системы является пара чисел $(1, 2)$.

Ответ: Если у одной из переменных в обоих уравнениях системы коэффициенты равны, то для решения системы методом сложения необходимо вычесть одно уравнение из другого. Это приведет к исключению данной переменной и получению уравнения с одной неизвестной.