Номер 1464, страница 204, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1464. Сколько решений имеет система:

1) $\begin{cases} 2x - 5y = 1, \\ 6x - 15y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 7y = 19, \\ 2x + y = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 3y = -3, \\ -5x + 3y = 8? \end{cases}$

1)

Для определения количества решений системы линейных уравнений $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ можно сравнить отношения их коэффициентов. Рассмотрим данную систему:

$ \begin{cases} 2x - 5y = 1 \\ 6x - 15y = 3 \end{cases} $

Здесь $a_1=2, b_1=-5, c_1=1$ и $a_2=6, b_2=-15, c_2=3$.

Найдем отношения коэффициентов:

Отношение коэффициентов при $\text{x}$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Отношение коэффициентов при $\text{y}$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{3} $.

Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{3} $.

Поскольку все три отношения равны ($ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $), уравнения в системе являются пропорциональными. Второе уравнение можно получить, умножив первое на 3: $3 \cdot (2x - 5y) = 3 \cdot 1$, что дает $6x - 15y = 3$. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Следовательно, любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: бесконечно много решений.

2)

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} x + 7y = 19 \\ 2x + y = 12 \end{cases} $

Здесь $a_1=1, b_1=7, c_1=19$ и $a_2=2, b_2=1, c_2=12$.

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

Отношение коэффициентов при $\text{x}$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} $.

Отношение коэффициентов при $\text{y}$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{7}{1} = 7 $.

Так как отношения коэффициентов при переменных не равны ($ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $), то прямые, соответствующие этим уравнениям, имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются в одной единственной точке. Эта точка пересечения и является единственным решением системы.

Ответ: одно решение.

3)

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 5x - 3y = -3 \\ -5x + 3y = 8 \end{cases} $

Здесь $a_1=5, b_1=-3, c_1=-3$ и $a_2=-5, b_2=3, c_2=8$.

Найдем отношения коэффициентов:

Отношение коэффициентов при $\text{x}$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-5} = -1 $.

Отношение коэффициентов при $\text{y}$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{3} = -1 $.

Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{8} $.

В этом случае отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Это означает, что прямые, описываемые уравнениями, параллельны и не совпадают. Так как параллельные прямые не пересекаются, система не имеет общих точек, а значит, и решений.

Также можно решить систему методом сложения. Сложив левые и правые части уравнений, получим:

$(5x - 3y) + (-5x + 3y) = -3 + 8$

$0x + 0y = 5$

$0 = 5$

Полученное неверное равенство говорит о том, что система несовместна.

Ответ: нет решений.