Номер 3, страница 203, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как решить систему уравнений способом сложения, если коэффициенты у одной переменной в обоих уравнениях различны?

Если в системе уравнений коэффициенты у одной из переменных в обоих уравнениях различны, для решения методом сложения необходимо сначала преобразовать уравнения. Цель преобразования — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $\text{5}$ и $-5$, или $-12$ и $12$).

Алгоритм действий следующий:

1. Выбрать переменную, которую будем исключать (например, $\text{x}$).

2. Найти наименьшее общее кратное (НОК) модулей коэффициентов при этой переменной.

3. Умножить каждое уравнение на такой дополнительный множитель, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали равны по модулю НОК и противоположны по знаку.

4. Сложить полученные уравнения почленно (левую часть с левой, правую — с правой). В результате одно из слагаемых с переменной сократится.

5. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

6. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и найти значение второй переменной.

7. Записать ответ в виде пары чисел.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 5y = 40 \end{cases} $

Допустим, мы хотим исключить переменную $\text{y}$. Коэффициенты при $\text{y}$ — это $\text{2}$ и $-5$. Их модули равны $\text{2}$ и $\text{5}$. Наименьшее общее кратное для $\text{2}$ и $\text{5}$ равно $10$.

Чтобы получить коэффициент $10$ при $\text{y}$ в первом уравнении, умножим все его члены на $\text{5}$:

$5 \cdot (3x + 2y) = 5 \cdot 7$

$15x + 10y = 35$

Чтобы получить коэффициент $-10$ при $\text{y}$ во втором уравнении, умножим все его члены на $\text{2}$:

$2 \cdot (4x - 5y) = 2 \cdot 40$

$8x - 10y = 80$

Теперь у нас есть новая, эквивалентная система:

$ \begin{cases} 15x + 10y = 35 \\ 8x - 10y = 80 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения почленно:

$(15x + 10y) + (8x - 10y) = 35 + 80$

$23x = 115$

Теперь решим это простое уравнение:

$x = \frac{115}{23}$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в первое исходное уравнение ($3x + 2y = 7$):

$3 \cdot 5 + 2y = 7$

$15 + 2y = 7$

$2y = 7 - 15$

$2y = -8$

$y = -4$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(5; -4)$.

Ответ: $(5; -4)$