Номер 1, страница 203, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1. Как решить систему уравнений способом сложения, если только у одной переменной коэффициенты в обоих уравнениях – противоположные числа?

1. Если в системе линейных уравнений коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях являются противоположными числами (например, $\text{k}$ и $-k$), то для решения такой системы методом сложения нужно сложить эти уравнения почленно. Это приведет к исключению (взаимному уничтожению) данной переменной, что является ключевой идеей метода и значительно упрощает решение.

Рассмотрим пошаговый алгоритм и конкретный пример.

Алгоритм решения

Пусть дана система уравнений, в которой коэффициенты при переменной $\text{y}$ противоположны:

$$ \begin{cases} a_1x + by = c_1 \\ a_2x - by = c_2 \end{cases} $$

Шаг 1. Сложение уравнений.

Складываем левые части уравнений между собой, а правые — между собой. При этом слагаемые с переменной $\text{y}$ взаимно уничтожаются.

$(a_1x + by) + (a_2x - by) = c_1 + c_2$

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем:

$a_1x + a_2x + 0 = c_1 + c_2$

$(a_1 + a_2)x = c_1 + c_2$

Шаг 2. Решение полученного уравнения.

В результате сложения мы получили простое линейное уравнение с одной переменной $\text{x}$. Находим из него $\text{x}$:

$x = \frac{c_1 + c_2}{a_1 + a_2}$ (при условии, что $a_1 + a_2 \neq 0$).

Шаг 3. Подстановка найденного значения.

Подставляем найденное значение $\text{x}$ в любое из двух исходных уравнений системы. Обычно выбирают то, которое кажется проще для вычислений.

Например, подставим в первое уравнение:

$a_1 \cdot \left(\frac{c_1 + c_2}{a_1 + a_2}\right) + by = c_1$

Шаг 4. Нахождение второй переменной.

Решаем уравнение, полученное на шаге 3, относительно второй переменной (в данном случае $\text{y}$).

Шаг 5. Запись ответа.

Решение системы записывается в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$.

Пример:

Решим систему:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} $$

Здесь коэффициенты при переменной $\text{y}$ равны $\text{3}$ и $-3$, то есть являются противоположными числами.

1. Складываем уравнения:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

$6x = 12$

2. Находим $\text{x}$:

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

3. Подставляем $x = 2$ в первое уравнение системы:

$2 \cdot 2 + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

4. Находим $\text{y}$:

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Чтобы решить систему уравнений способом сложения, если у одной переменной коэффициенты являются противоположными числами, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить почленно оба уравнения системы (левую часть с левой, правую с правой). При этом переменная с противоположными коэффициентами взаимно уничтожится.

2. Решить полученное линейное уравнение с одной неизвестной переменной.

3. Подставить найденное значение этой переменной в любое из двух исходных уравнений.

4. Решить получившееся уравнение и найти значение второй переменной.

5. Записать ответ в виде пары чисел, являющейся решением системы.