Номер 1451, страница 199, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы уравнений способом подстановки (1450, 1451).

1451.

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{xy}, \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{3}{xy}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{5}{mn}, \\ \frac{2}{n} - \frac{1}{m} = \frac{1}{mn}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = \frac{13}{xy}, \\ \frac{8}{x} - \frac{2}{y} = \frac{16}{xy}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5}{m} - \frac{3}{n} = \frac{7}{mn}, \\ \frac{1}{m} + \frac{2}{n} = \frac{17}{mn}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{xy} \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{3}{xy} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим оба уравнения системы на $xy$.

Первое уравнение после умножения: $xy \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = xy \cdot \frac{7}{xy}$ $y + x = 7$

Второе уравнение после умножения: $xy \cdot (\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) = xy \cdot \frac{3}{xy}$ $x - y = 3$

В результате мы получили эквивалентную систему линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Решим систему способом подстановки. Выразим $\text{y}$ из первого уравнения: $y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение: $x - (7 - x) = 3$ $x - 7 + x = 3$ $2x = 10$ $x = 5$

Теперь найдем значение $\text{y}$, подставив $x = 5$ в выражение для $\text{y}$: $y = 7 - 5 = 2$

Ответ: $(5; 2)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{5}{mn} \\ \frac{2}{n} - \frac{1}{m} = \frac{1}{mn} \end{cases} $

ОДЗ: $m \neq 0$ и $n \neq 0$. Умножим оба уравнения на $mn$.

Первое уравнение: $n + m = 5$.

Второе уравнение: $2m - n = 1$.

Получаем систему: $ \begin{cases} m + n = 5 \\ 2m - n = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{n}$: $n = 5 - m$

Подставим это выражение во второе уравнение: $2m - (5 - m) = 1$ $2m - 5 + m = 1$ $3m = 6$ $m = 2$

Найдем $\text{n}$: $n = 5 - 2 = 3$

Ответ: $(2; 3)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = \frac{13}{xy} \\ \frac{8}{x} - \frac{2}{y} = \frac{16}{xy} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Умножим оба уравнения на $xy$.

Первое уравнение: $3y + x = 13$.

Второе уравнение: $8y - 2x = 16$. Разделим второе уравнение на 2: $4y - x = 8$.

Получаем систему: $ \begin{cases} x + 3y = 13 \\ -x + 4y = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\text{x}$: $x = 13 - 3y$

Подставим это выражение во второе уравнение: $-(13 - 3y) + 4y = 8$ $-13 + 3y + 4y = 8$ $7y = 21$ $y = 3$

Найдем $\text{x}$: $x = 13 - 3 \cdot 3 = 13 - 9 = 4$

Ответ: $(4; 3)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{5}{m} - \frac{3}{n} = \frac{7}{mn} \\ \frac{1}{m} + \frac{2}{n} = \frac{17}{mn} \end{cases} $

ОДЗ: $m \neq 0$ и $n \neq 0$. Умножим оба уравнения на $mn$.

Первое уравнение: $5n - 3m = 7$.

Второе уравнение: $n + 2m = 17$.

Получаем систему: $ \begin{cases} -3m + 5n = 7 \\ 2m + n = 17 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{n}$: $n = 17 - 2m$

Подставим это выражение в первое уравнение: $-3m + 5(17 - 2m) = 7$ $-3m + 85 - 10m = 7$ $-13m = 7 - 85$ $-13m = -78$ $m = 6$

Найдем $\text{n}$: $n = 17 - 2 \cdot 6 = 17 - 12 = 5$

Ответ: $(6; 5)$.