Номер 1474, страница 205, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1474. Решите системы уравнений способом сложения:

1) $\begin{cases} 2x + 7y - 44 = 0, \\ 2x - 3y = -36; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 8y - 17 = 0, \\ 3x + 4y - 23 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 15x + 11y - 47 = 0, \\ 5x - y + 17 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 8x - 9y - 21 = 0, \\ 3x - 2y - 12 = 0. \end{cases}$

1)

Приведем систему уравнений к стандартному виду, перенеся свободный член в первом уравнении в правую часть:

$ \begin{cases} 2x + 7y = 44 \\ 2x - 3y = -36 \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $\text{x}$ в обоих уравнениях равны. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $\text{x}$:

$(2x + 7y) - (2x - 3y) = 44 - (-36)$

$2x + 7y - 2x + 3y = 44 + 36$

$10y = 80$

$y = \frac{80}{10} = 8$

Теперь подставим найденное значение $y=8$ во второе уравнение системы $2x - 3y = -36$:

$2x - 3 \cdot 8 = -36$

$2x - 24 = -36$

$2x = -36 + 24$

$2x = -12$

$x = \frac{-12}{2} = -6$

Ответ: $(-6; 8)$.

2)

Приведем систему уравнений к стандартному виду:

$ \begin{cases} x - 8y = 17 \\ 3x + 4y = 23 \end{cases} $

Чтобы использовать метод сложения, умножим второе уравнение на 2. Тогда коэффициенты при $\text{y}$ станут противоположными числами ($-8$ и $\text{8}$):

$ \begin{cases} x - 8y = 17 \\ 2(3x + 4y) = 2 \cdot 23 \end{cases} \implies \begin{cases} x - 8y = 17 \\ 6x + 8y = 46 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения:

$(x - 8y) + (6x + 8y) = 17 + 46$

$7x = 63$

$x = \frac{63}{7} = 9$

Подставим найденное значение $x=9$ в первое уравнение $x - 8y = 17$:

$9 - 8y = 17$

$-8y = 17 - 9$

$-8y = 8$

$y = \frac{8}{-8} = -1$

Ответ: $(9; -1)$.

3)

Приведем систему уравнений к стандартному виду:

$ \begin{cases} 15x + 11y = 47 \\ 5x - y = -17 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 11, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали противоположными $(11$ и $-11)$:

$ \begin{cases} 15x + 11y = 47 \\ 11(5x - y) = 11(-17) \end{cases} \implies \begin{cases} 15x + 11y = 47 \\ 55x - 11y = -187 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(15x + 11y) + (55x - 11y) = 47 + (-187)$

$70x = -140$

$x = \frac{-140}{70} = -2$

Подставим найденное значение $x=-2$ во второе уравнение $5x - y = -17$:

$5(-2) - y = -17$

$-10 - y = -17$

$-y = -17 + 10$

$-y = -7$

$y = 7$

Ответ: $(-2; 7)$.

4)

Приведем систему уравнений к стандартному виду:

$ \begin{cases} 8x - 9y = 21 \\ 3x - 2y = 12 \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $\text{y}$, нам нужно, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ были противоположными числами. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -9. Тогда коэффициенты при $\text{y}$ станут $-18$ и $18$:

$ \begin{cases} 2(8x - 9y) = 2 \cdot 21 \\ -9(3x - 2y) = -9 \cdot 12 \end{cases} \implies \begin{cases} 16x - 18y = 42 \\ -27x + 18y = -108 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(16x - 18y) + (-27x + 18y) = 42 + (-108)$

$16x - 27x = -66$

$-11x = -66$

$x = \frac{-66}{-11} = 6$

Подставим найденное значение $x=6$ во второе уравнение $3x - 2y = 12$:

$3 \cdot 6 - 2y = 12$

$18 - 2y = 12$

$-2y = 12 - 18$

$-2y = -6$

$y = \frac{-6}{-2} = 3$

Ответ: $(6; 3)$.