Номер 1477, страница 206, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы уравнений способом сложения (1476, 1477).

1477.

1) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 6, \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2,5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 6, \\ \frac{x}{8} - \frac{y}{2} = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4, \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{12} + \frac{y}{5} = 8, \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{7} = -2. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 6 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2,5 \end{cases} $

Для удобства решения преобразуем уравнения, избавившись от знаменателей. Умножим обе части первого уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), а обе части второго уравнения также на 6 (наименьшее общее кратное чисел 2 и 3).

$ \begin{cases} 6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot 6 \\ 6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = 6 \cdot 2,5 \end{cases} $

После упрощения получим систему с целыми коэффициентами:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 36 \\ 3x - 2y = 15 \end{cases} $

Решим полученную систему методом сложения. Чтобы коэффициенты при переменной $\text{y}$ стали противоположными числами, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3.

$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 36 \\ 3(3x - 2y) = 3 \cdot 15 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 6y = 72 \\ 9x - 6y = 45 \end{cases} $

Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:

$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 72 + 45$

$13x = 117$

Найдем $\text{x}$:

$x = \frac{117}{13} = 9$

Подставим найденное значение $x=9$ в уравнение $2x + 3y = 36$, чтобы найти $\text{y}$:

$2(9) + 3y = 36$

$18 + 3y = 36$

$3y = 36 - 18$

$3y = 18$

$y = \frac{18}{3} = 6$

Таким образом, решение системы: $x=9, y=6$.

Ответ: $(9; 6)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 6 \\ \frac{x}{8} - \frac{y}{2} = -1 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 6 и 4), а второе на 8 (наименьшее общее кратное для 8 и 2), чтобы избавиться от дробей:

$ \begin{cases} 12 \cdot (\frac{x}{6} + \frac{y}{4}) = 12 \cdot 6 \\ 8 \cdot (\frac{x}{8} - \frac{y}{2}) = 8 \cdot (-1) \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + 3y = 72 \\ x - 4y = -8 \end{cases} $

Для решения методом сложения умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $\text{x}$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 72 \\ -2(x - 4y) = -2(-8) \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + 3y = 72 \\ -2x + 8y = 16 \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(2x + 3y) + (-2x + 8y) = 72 + 16$

$11y = 88$

$y = \frac{88}{11} = 8$

Подставим $y=8$ в уравнение $x - 4y = -8$:

$x - 4(8) = -8$

$x - 32 = -8$

$x = 32 - 8 = 24$

Таким образом, решение системы: $x=24, y=8$.

Ответ: $(24; 8)$.

3) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1 \end{cases} $

В данной системе коэффициенты при переменной $\text{y}$ уже являются противоположными числами ($\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{4}$). Поэтому можно сразу применить метод сложения, сложив два уравнения:

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{4}) + (\frac{x}{2} - \frac{y}{4}) = 4 + 1$

$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5$

Приведем левую часть к общему знаменателю 6:

$\frac{2x}{6} + \frac{3x}{6} = 5$

$\frac{5x}{6} = 5$

$5x = 30$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x=6$ во второе уравнение системы $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1$:

$\frac{6}{2} - \frac{y}{4} = 1$

$3 - \frac{y}{4} = 1$

$-\frac{y}{4} = 1 - 3$

$-\frac{y}{4} = -2$

$y = 8$

Таким образом, решение системы: $x=6, y=8$.

Ответ: $(6; 8)$.

4) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{12} + \frac{y}{5} = 8 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{7} = -2 \end{cases} $

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 60 (наименьшее общее кратное для 12 и 5), а второе на 28 (наименьшее общее кратное для 4 и 7):

$ \begin{cases} 60 \cdot (\frac{x}{12} + \frac{y}{5}) = 60 \cdot 8 \\ 28 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{y}{7}) = 28 \cdot (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} 5x + 12y = 480 \\ 7x - 4y = -56 \end{cases} $

Для применения метода сложения умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали противоположными (12 и -12):

$ \begin{cases} 5x + 12y = 480 \\ 3(7x - 4y) = 3(-56) \end{cases} \implies \begin{cases} 5x + 12y = 480 \\ 21x - 12y = -168 \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(5x + 12y) + (21x - 12y) = 480 + (-168)$

$26x = 312$

$x = \frac{312}{26} = 12$

Подставим $x=12$ в уравнение $7x - 4y = -56$:

$7(12) - 4y = -56$

$84 - 4y = -56$

$-4y = -56 - 84$

$-4y = -140$

$y = \frac{-140}{-4} = 35$

Таким образом, решение системы: $x=12, y=35$.

Ответ: $(12; 35)$.