Номер 1488, страница 207, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1488. Решите системы уравнений способом сложения:

1)

$\begin{cases} \frac{x+7}{3} - \frac{y-8}{5} = 3, \\ \frac{x+5}{4} + \frac{y+9}{3} = 5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x+9}{3} - \frac{y+8}{6} = 3, \\ \frac{x+11}{7} + \frac{y+6}{2} = 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{x+7}{4} + \frac{y-5}{2} = -1, \\ \frac{x+10}{3} - \frac{y+8}{5} = 4; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x-9}{3} - \frac{y+10}{2} = 0, \\ \frac{x-7}{4} + \frac{y+10}{8} = -1,5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{3} - \frac{y-8}{5} = 3, \\ \frac{x+5}{4} + \frac{y+9}{3} = 5; \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Для этого умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15. Второе уравнение умножим на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12.

Первое уравнение:

$15 \cdot \left(\frac{x+7}{3}\right) - 15 \cdot \left(\frac{y-8}{5}\right) = 15 \cdot 3$

$5(x+7) - 3(y-8) = 45$

$5x + 35 - 3y + 24 = 45$

$5x - 3y + 59 = 45$

$5x - 3y = 45 - 59$

$5x - 3y = -14$

Второе уравнение:

$12 \cdot \left(\frac{x+5}{4}\right) + 12 \cdot \left(\frac{y+9}{3}\right) = 12 \cdot 5$

$3(x+5) + 4(y+9) = 60$

$3x + 15 + 4y + 36 = 60$

$3x + 4y + 51 = 60$

$3x + 4y = 60 - 51$

$3x + 4y = 9$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 5x - 3y = -14, \\ 3x + 4y = 9. \end{cases} $

Для решения способом сложения, умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 4(5x - 3y) = 4(-14), \\ 3(3x + 4y) = 3(9); \end{cases} $

$ \begin{cases} 20x - 12y = -56, \\ 9x + 12y = 27. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(20x - 12y) + (9x + 12y) = -56 + 27$

$29x = -29$

$x = -1$

Подставим найденное значение $\text{x}$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $3x + 4y = 9$:

$3(-1) + 4y = 9$

$-3 + 4y = 9$

$4y = 12$

$y = 3$

Проверка: подставим $x=-1$ и $y=3$ в исходные уравнения. $\frac{-1+7}{3} - \frac{3-8}{5} = \frac{6}{3} - \frac{-5}{5} = 2 - (-1) = 3$. Верно. $\frac{-1+5}{4} + \frac{3+9}{3} = \frac{4}{4} + \frac{12}{3} = 1 + 4 = 5$. Верно.

Ответ: $(-1; 3)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+9}{3} - \frac{y+8}{6} = 3, \\ \frac{x+11}{7} + \frac{y+6}{2} = 4; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение. Первое уравнение умножим на 6, второе на 14.

Первое уравнение:

$6 \cdot \left(\frac{x+9}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{y+8}{6}\right) = 6 \cdot 3$

$2(x+9) - (y+8) = 18$

$2x + 18 - y - 8 = 18$

$2x - y = 8$

Второе уравнение:

$14 \cdot \left(\frac{x+11}{7}\right) + 14 \cdot \left(\frac{y+6}{2}\right) = 14 \cdot 4$

$2(x+11) + 7(y+6) = 56$

$2x + 22 + 7y + 42 = 56$

$2x + 7y + 64 = 56$

$2x + 7y = -8$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x - y = 8, \\ 2x + 7y = -8. \end{cases} $

Чтобы исключить $\text{x}$, вычтем второе уравнение из первого (что эквивалентно умножению второго уравнения на -1 и сложению):

$(2x - y) - (2x + 7y) = 8 - (-8)$

$2x - y - 2x - 7y = 8 + 8$

$-8y = 16$

$y = -2$

Подставим $y = -2$ в уравнение $2x - y = 8$:

$2x - (-2) = 8$

$2x + 2 = 8$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $(3; -2)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{4} + \frac{y-5}{2} = -1, \\ \frac{x+10}{3} - \frac{y+8}{5} = 4; \end{cases} $

Упростим уравнения. Первое умножим на 4, второе на 15.

Первое уравнение:

$4 \cdot \left(\frac{x+7}{4}\right) + 4 \cdot \left(\frac{y-5}{2}\right) = 4 \cdot (-1)$

$(x+7) + 2(y-5) = -4$

$x + 7 + 2y - 10 = -4$

$x + 2y - 3 = -4$

$x + 2y = -1$

Второе уравнение:

$15 \cdot \left(\frac{x+10}{3}\right) - 15 \cdot \left(\frac{y+8}{5}\right) = 15 \cdot 4$

$5(x+10) - 3(y+8) = 60$

$5x + 50 - 3y - 24 = 60$

$5x - 3y + 26 = 60$

$5x - 3y = 34$

Система в упрощенном виде:

$ \begin{cases} x + 2y = -1, \\ 5x - 3y = 34. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на -5, чтобы при сложении исключить $\text{x}$:

$ \begin{cases} -5(x + 2y) = -5(-1), \\ 5x - 3y = 34; \end{cases} $

$ \begin{cases} -5x - 10y = 5, \\ 5x - 3y = 34. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(-5x - 10y) + (5x - 3y) = 5 + 34$

$-13y = 39$

$y = -3$

Подставим $y = -3$ в уравнение $x + 2y = -1$:

$x + 2(-3) = -1$

$x - 6 = -1$

$x = 5$

Ответ: $(5; -3)$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-9}{3} - \frac{y+10}{2} = 0, \\ \frac{x-7}{4} + \frac{y+10}{8} = -1,5. \end{cases} $

Упростим уравнения. Первое умножим на 6, второе на 8.

Первое уравнение:

$6 \cdot \left(\frac{x-9}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{y+10}{2}\right) = 6 \cdot 0$

$2(x-9) - 3(y+10) = 0$

$2x - 18 - 3y - 30 = 0$

$2x - 3y - 48 = 0$

$2x - 3y = 48$

Второе уравнение:

$8 \cdot \left(\frac{x-7}{4}\right) + 8 \cdot \left(\frac{y+10}{8}\right) = 8 \cdot (-1,5)$

$2(x-7) + (y+10) = -12$

$2x - 14 + y + 10 = -12$

$2x + y - 4 = -12$

$2x + y = -8$

Получаем систему:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 48, \\ 2x + y = -8. \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x - 3y) - (2x + y) = 48 - (-8)$

$2x - 3y - 2x - y = 48 + 8$

$-4y = 56$

$y = -14$

Подставим $y = -14$ в уравнение $2x + y = -8$:

$2x + (-14) = -8$

$2x - 14 = -8$

$2x = 6$

$x = 3$

Ответ: $(3; -14)$.