Номер 1489, страница 208, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Найдите решение систем уравнений (1489, 1490).

1489. 1)

$\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{y}{2} = 4, \\ \frac{x}{10} - \frac{x-y}{5} = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x-y}{2} - \frac{x+y}{4} = -3, \\ \frac{y}{2} - \frac{x+y}{5} = 0. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{y}{2} = 4 \\ \frac{x}{10} - \frac{x-y}{5} = 1 \end{cases}$

Для решения системы избавимся от дробей в каждом уравнении. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель его дробей, то есть на 8:

$8 \cdot \frac{x+y}{8} + 8 \cdot \frac{y}{2} = 8 \cdot 4$

$(x+y) + 4y = 32$

$x + 5y = 32$

Теперь умножим второе уравнение на наименьший общий знаменатель его дробей, то есть на 10:

$10 \cdot \frac{x}{10} - 10 \cdot \frac{x-y}{5} = 10 \cdot 1$

$x - 2(x-y) = 10$

$x - 2x + 2y = 10$

$-x + 2y = 10$

В результате мы получили эквивалентную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 5y = 32 \\ -x + 2y = 10 \end{cases}$

Применим метод сложения: сложим левые и правые части уравнений системы.

$(x + 5y) + (-x + 2y) = 32 + 10$

$7y = 42$

$y = \frac{42}{7} = 6$

Подставим найденное значение $y=6$ в первое уравнение упрощенной системы $x + 5y = 32$, чтобы найти $\text{x}$:

$x + 5 \cdot 6 = 32$

$x + 30 = 32$

$x = 32 - 30$

$x = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 6)$.

Ответ: $(2; 6)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x-y}{2} - \frac{x+y}{4} = -3 \\ \frac{y}{2} - \frac{x+y}{5} = 0 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 4:

$4 \cdot \frac{x-y}{2} - 4 \cdot \frac{x+y}{4} = 4 \cdot (-3)$

$2(x-y) - (x+y) = -12$

$2x - 2y - x - y = -12$

$x - 3y = -12$

Упростим второе уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 10:

$10 \cdot \frac{y}{2} - 10 \cdot \frac{x+y}{5} = 10 \cdot 0$

$5y - 2(x+y) = 0$

$5y - 2x - 2y = 0$

$3y - 2x = 0$ или $-2x + 3y = 0$

Получаем новую систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y = -12 \\ -2x + 3y = 0 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Сложим оба уравнения:

$(x - 3y) + (-2x + 3y) = -12 + 0$

$x - 2x = -12$

$-x = -12$

$x = 12$

Подставим найденное значение $x=12$ во второе уравнение упрощенной системы $-2x + 3y = 0$, чтобы найти $\text{y}$:

$-2 \cdot 12 + 3y = 0$

$-24 + 3y = 0$

$3y = 24$

$y = \frac{24}{3} = 8$

Решение системы — пара чисел $(12; 8)$.

Ответ: $(12; 8)$.